1. Ikki vektorning skalyar ko`paytmasi Ikki vektor orasidagi burchak

9.Uch tekislikning kesishish nuqtasi
Berilgan uchta А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0, А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0 va А₃х+В₃у+С₃z+D₃=0 tekisliklarning kesishish nuqtasi.

sistemani yechib topiladi. Sistemaning asosiy determinanti

bo’lganda sistema yagona yechimga ega bo’ladi va berilgan uchta tekislik bir nuqtada kesishadi. Δ=0 bo’lganda tekisliklar bir nuqtada kesismaydi.
12–misol. 2х-у+3z+2=0, х+2y-z-9=0 va 3х+у-2z-11=0 tekisliklarning kesishishi nuqtasi topilsin.
Yechish.

sistemani yechib tekisliklarning kesishish nuqtasining koordinatalari x=2, y=3, z=-1 larni topamiz. Demak tekisliklar M(2;3;-1) nuqtada kesishar ekan.

10.Nuqtadan tekislikgacha masofa
Nuqtadan tekislikgacha masofa deganda shu nuqtadan tekislikka tushirilgan perpendikulyarning uzunligi nazarda tutiladi.
Berilgan М₁(х₁;у₁;z₁) nuqtadan Ах+Ву+Сz+D=0 tenglamasi yordamida berilgan Q tekislikgacha d masofa formula yordamida topiladi.

bo’lgani uchun

yoki

Tekislik tenglamasidan hisobga olib ushbu

(7.17)
formula yordamida topiladi.

Agar asl vektor chizmada to'rtburchaklar ikki o'lchovli koordinatalar tizimida ko'rsatilgan bo'lsa va unga perpendikulyarni xuddi shu joyda qurish kerak bo'lsa, tekislikdagi vektorlarning perpendikulyarligini aniqlashdan boshlang. Unda aytilishicha, bunday yo'naltirilgan chiziq segmentlari orasidagi burchak 90 ° bo'lishi kerak. Bunday vektorlar cheksiz bo'lishi mumkin. Shuning uchun, har qanday rasmni torting qulay joy asl vektorga perpendikulyar bo'lgan tekislik, unga berilgan tartiblangan nuqtalar juftining uzunligiga teng bo'lgan segmentni chetga surib qo'ying va uning uchlaridan birini perpendikulyar vektorning boshlanishi sifatida belgilang. Buni o'lchagich va o'lchagich bilan bajaring.

Agar asl vektor ikki o'lchovli koordinatalar ā = (X₁; Y₁) bilan berilgan bo'lsa, perpendikulyar vektorlar juftining skalyar ko'paytmasi nolga teng bo'lishi kerakligidan kelib chiqing. Bu shuni anglatadiki, kerakli vektor ō = (X₂, Y₂) uchun (ā, ō) = X₁ * X₂ + Y₁ * Y₂ = 0 tengligi bajariladigan shunday koordinatalarni tanlashingiz kerak. Buni quyidagicha amalga oshirish mumkin: X₂ koordinatasi uchun nolga teng bo'lmagan istalgan qiymatni tanlang va Y₂ koordinatasini Y₂ = - (X₁ * X₂) / Y₁ formulasi bo'yicha hisoblang. Masalan, ā = (15; 5) vektor uchun ō vektori bo'ladi, abtsissasi birga va ordinatasi - (15 * 1) / 5 = -3 ga teng, ya'ni. ō = (1; -3).
Uch o'lchovli va boshqa har qanday ortogonal koordinatalar tizimi uchun vektorlarning perpendikulyar bo'lishi uchun bir xil zarur va etarli shart - ularning skalyar ko'paytmasi nolga teng bo'lishi kerak. Shuning uchun, agar dastlabki yo'naltirilgan segment ā = (X₁, Y₁, Z₁) koordinatalari bilan berilgan bo'lsa, perpendikulyar tartiblangan nuqtalar juftligi uchun ō = (X₂, Y₂, Z₂) shartni (ā, ō) qanoatlantiradigan shunday koordinatalarni tanlang. = X₁ * X₂ + Y₁ * Y₂ + Z₁ * Z₂ = 0. Eng oson yo‘li X₂ va Y₂ yagona qiymatlarini belgilash va Z₂ ni soddalashtirilgan tenglikdan Z₂ = -1 * (X₁ * 1 + Y₁ * 1) / Z₂ hisoblashdir. = - (X₁ + Y₁) / Z₁. Masalan, ā = (3,5,4) vektori uchun bu quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: (ā, ō) = 3 * X₂ + 5 * Y₂ + 4 * Z₂ = 0. Keyin abscissa va ordinatani oling. perpendikulyar vektor birlik sifatida va bu holda u - (3 + 5) / 4 = -2 ga teng bo'ladi.
Manbalar:

• 
  vektor perpendikulyar bo'lsa toping
  

Perpendikulyar deyiladi vektor, ularning orasidagi burchak 90º. Perpendikulyar vektorlar chizma asboblari yordamida chiziladi. Agar ularning koordinatalari ma'lum bo'lsa, u holda siz vektorlarning perpendikulyarligini tekshirishingiz yoki topishingiz mumkin analitik usullar.
Sizga kerak bo'ladi

• 
  - transportyor;
  
• 
  - kompas;
  
• 
  - hukmdor.
  

Ko'rsatmalar
Berilganga perpendikulyar vektor tuzing. Buning uchun vektorning boshi bo'lgan nuqtada unga perpendikulyarni tiklang. Buni 90º burchakni o'rnatadigan transportyor yordamida amalga oshirish mumkin. Agar sizda transporter bo'lmasa, kompasdan foydalaning.
Uni vektorning boshlang'ich nuqtasiga o'rnating. Ixtiyoriy radiusli doira chizing. Keyin birinchi doira vektor yotadigan chiziqni kesib o'tgan nuqtalarda markazlari bilan ikkitasini chizing. Bu doiralarning radiuslari bir-biriga teng va birinchi qurilgan doiradan kattaroq bo'lishi kerak. Doiralarning kesishish nuqtalarida asl vektorga uning kelib chiqish nuqtasida perpendikulyar bo'ladigan chiziq chizing va unga berilgan vektorga perpendikulyar vektor qo'ying.