10-mavzu. Tasodifiy miqdorlar. Taqsimot qonunlari

4. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyalari.


Ta’rif. Agar uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funktsiyasi



ko’rinishda berilgan bo’lsa, u oraliqda tekis taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi.
Bu tasodifiy miqdor zichlik funktsiyasining grafigi quyidagi rasmda berilgan:



oraliqda tekis taqsimlangan tasodifiy miqdor ko’rinishda belgilanadi. uchun taqsimot funktsiya quyidagicha bo’ladi:

taqsimot funktsiyaning grafigi quyidagi rasmda keltirilgan.

Ta’rif. Agar uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funktsiyasi

ko’rinishda berilgan bo’lsa, tasodifiy miqdor ko’rsatkichli qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi, bu yerda biror musbat son.
parametrli ko’rsatkichli taqsimot orqali belgilanadi. Uning grafigi quyidagi rasmda keltirilgan.

uchun taqsimot funktsiya quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

Uning grafigi quyidagi rasmda keltirilgan.

Normal taqsimot ehtimollar nazariyasida o’ziga xos o’rin tutadi. Normal taqsimotning xususiyati shundan iboratki, u limit taqsimot hisoblanadi. Ya’ni boshqa taqsimotlar ma’lum shartlar ostida bu taqsimotga intiladi. Normal taqsimot amaliyotda eng ko’p qo’llaniladigan taqsimotdir.
Ta’rif. uzluksiz tasodifiy miqdor normal qonun bo’yicha taqsimlangan deyiladi, agar uning zichlik funktsiyasi quyidagi ko’rinishga ega bo’lsa

va parametrlar bo’yicha normal taqsimot orqali belgilanadi. normal tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasi

Agar normal taqsimot parametrlari va bo’lsa, u standart normal taqsimot deyiladi. Standart normal taqsimotning zichlik funktsiyasi quyidagi ko’rinishga ega:

Taqsimot funktsiyasi

ko’rinishga ega va u Laplas funktsiyasi deyiladi.

Quyidagi rasmda va larning turli qiymatlarida normal taqsimot grafigining o’zgarishi tasvirlangan:

tasodifiy miqdorning intervalga tushish ehtimolini hisoblaymiz. Avvalgi mavzulardan ma’lumki,


Laplas funktsiyasidan foydalanib, quyidagiga ega bo’lamiz:

Normal taqsimot funktsiyasini Laplas funktsiyasi orqali quyidagicha ifodalasa bo’ladi:


Agar Laplas funktsiyasi bo’lsa, u holda va oxirgi formulani quyidagicha yozsa bo’ladi:

Amaliyotda ko’p hollarda normal tasodifiy miqdorning ga nisbatan simmetrik bo’lgan intervalga tushish ehtimolini hisoblashga to’g’ri keladi.
Uzunligi bo’lgan intervalni olaylik, u holda


Demak,

deb olsak, bo’ladi. funktsiyaning qiymatlari jadvalidan ni topamiz. U holda bo’ladi. Bundan quyidagi muhim natijaga ega bo’lamiz: Agar bo’lsa, u holda uning matematik kutilmasidan chetlanishining absolyut qiymati o’rtacha kvadratik tarqoqligining uchlanganidan katta bo’lmaydi. Bu qoida “uch sigma qoidasi” deyiladi.

3-misol. Detallarni o’lchash jarayonida mm parametrli normal taqsimotga bo’ysunuvchi tasodifiy xatoliklarga yo’l qo’yildi. Bog’liqsiz 3 marta detalni o’lchaganda hech bo’lmasa bitta o’lchash xatoligining absolyut qiymati 2 mm dan katta bo’lmasligi ehtimolini baholang.