Geron formulasini isbotlang. Yani, tomonlari uzunligi a, b, c bo‘lgan uchburchak yuzasi quyidagi formula
orqali hisoblanishini isbotlang.
𝑆 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐),
Bunda
𝑠 =
𝑎+𝑏+𝑐
2
uchurchak perimetrining yarmi.
(Ko‘rsatma: Agar A yuza bo‘lsa, u holda quyidagicha boshlanadi: 16A
2
= 4b
2
(с
2
-с
2
cos
2
А)= =(2bc - 2bc cosA)
(2bc + 2bc cosA). Endi 2bc Cos A ifodani a, b va c terminida ifodalash uchun kosinuslar qoidasidan foydalanib
bir o‘z algebraic soddalashtirish lozim.)
3. O‘ng tomonda ko‘rsatilgan to‘rtburchakda diagonallar uzunligi a va b bo‘lib, ular
𝜃
burchakni tashkil
etadi.
Ushbu to‘rtburchakning yuzasini
1
2
𝑎𝑏 𝑠𝑖𝑛 𝜃
ga tengligini ko‘rsating. (Eslatma: har bir uchburchak yuzasi
sinuslar qonunidan foydalanib topiladi.)
9.61-rasm
4
. O‘ng tomondagi uchburchakdan
𝑐 =
√1+𝑖+√1−𝑖
√2
4
ni ko‘rsating (bu yerda i
2
= -1)
5. ΔABC da C to‘g‘ri burchak bo‘lsa,
D ni [AB]ning o‘rtasi deb olsak, u holda ΔADC ni AD = DC bilan tengyonli ekanligini ko‘rsating.
6. ΔABC uchburchak berilgan bo‘lib BC = а, CA = b va AB = с ga teng bo‘lsin. Agar D nuqta [BC]ning
o‘rtasi bo‘lsa, u holda
𝐴𝐷 =
1
2
√2(𝑏
2
+ 𝑐
2
) − 𝑎
2
.
ni ko‘rsating.
7. Tasavvur qilamiz, uchburchakning tomonlari 4, 5 va 6 ga teng.
9.62-rasm
(а) Uchburchakning yuzini toping.
(b) Burchaklardan bittasining boshqa burchaklardan biridan ikki marta ko‘pligini ko‘rsating.
8.
(Olti uchburchak) O‘ng tomondagi rasmda uchburchak berilgan
𝛥𝐴𝐵𝐷 ~ 𝛥𝐵𝐶
. Bundan oltin
koeffisentligini ko‘rsating.
𝐷𝐶
𝐴𝐷
=
√5+1
2
. 9. Tomonlari а = 11, b = 8 va с = 8 bo‘lgan uchburchak ΔABC berilgan bo‘lsin. [BC] da shunday D va Е
nuqtalar olinganki [AD] va [AE] kesmalar
𝐵𝐴𝐶
̂
burchakni 3ga bo‘ladi.
9.63-rasm
AD = AE = 6 ekanligini isbotlang.
10. O‘ng tomonda teng tomonli uchburchak tasvirlangan bo‘lib, tomonlari 1 ga teng. Tasavvur qilamiz, AF =
BD = CE = r, bunda r-musbat son va r<1. Ichidagi teng tomonli uchburchakning yuzini hisoblang.
(Ko‘rsatma: uchburchaklarni o‘hshashligidan va Styuart teoremasidan foydalangan holda
AD = BE = CF hisoblang.)
IV.
