Kosinuslar qonuni. Tomonlari a, b, c bo‘lgan ΔABC uchburchak berilgan bo‘lsa, u holda biz
c
2
= a
2
+ b
2
-2ab соs C ga ega bo‘lamiz.
Isbot. O‘ng tomonda keltirilgan diagrammaga asoslangan va Pifagor teoremasidan foydalangan holda biz
quyidagi xulosaga kelamiz:
с
2
=(b-аcosC)
2
+a
2
sin
2
C=b
2
-2abcosC+a
2
cos
2
C+a
2
sin
2
C=a
2
+b
2
-2abcosC.
Styuart teoremasi. O‘ng tomonda ko‘rsatilgan figuraga ΔABC uchburchak va BX berilgan bo‘lsin. Unda
a(p
2
+ rs) = b
2
r+ c
2
s.
9.59-rasm
Isbot.
𝜃
=
𝐴𝑋𝐶
̂
bo‘lsa kosinuslar qonunini qo‘llagan holdaΔAXB uchburchaklardan
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
𝑟
2
+𝑝
2
−𝑐
2
2𝑝𝑟
.
ΔAXB uchburchakka kosinuslar qonunini qo‘llasak
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
𝑏
2
−𝑠
2
−𝑐𝑝
2
2𝑝𝑠
bo‘ladi.
Ikki ifodani bir biriga tenglashtirib a= r+s ni hisobga olsak oxirida ko‘zlangan natijani olishimiz mumkin.
Natija [Appoloniy teoremasi]. 9.60-rasm
O‘ng tomondagi rasmdagiday ΔABC uchburchakning а, b, с tomonlari hamda BX medianasi berilgan bo‘lsin.
Shunda
b
2
+ c
2
= 2m
2
+ a
2
/2.
Agar b= c (uchburchakning ikki yoni)
bo‘lsa, unda yuqoridagi ma’lumotga ko‘ra
m
2
+ (a/2)
2
= b
2
.
Bu esa darhol Styuart teoremasidan kelib chiqadi.
Topshiriqlar 1.Sinuslar qonunidan foydalanib, uchburchak bissektrisasi to‘g‘risidagi teoremani isbotlang. (15-betga
qarang.)
2.
