2011 YÜksek lisans tez özetleri

KOCA Beyaz Başak

Danışman : Prof. Dr. Nazım SADIK

Anabilim Dalı : Matematik

Mezuniyet Yılı : 2011

Tez Savunma Jürisi : Prof. Dr.Nazım SADIK

Prof. Dr. Leyla ZEREN AKGÜN

Prof. Dr. Aydın AYTUNA

Prof. Dr. Yusuf AVCI

Yard. Doç. Dr. Özkan DEĞER
Genel Singüler Denklemlerin Çözümü Hakkında

Bu tez çalışmasında, normal tipli genel singüler denklemler için yeni bir çözüm yöntemi verilmiş ve bu yöntemin uygulaması olarak bir sınıf konvolüsyon tipli integral denklemin çözümü bulunmuştur.

Genel Kısımlar bölümünde, bazı singüler integral denklemlerin çözülebilirliğinin incelendiği önemli çalışmaların özeti verilmiştir. İlk olarak, Fredholm integral denklemlerinin kısa bir teorisine bakılmış ve bu denklemlerin çözülebilirliğini gösteren, bugün Fredholm teoremleri olarak anılan teoremler verilmiştir. Daha sonra Fredholm teoremleri, daha geniş ve soyut denklem türleri için incelenmiş ve sırasıyla F.Riesz - J.Schauder [5], S.Nikolskii [1] 'nin çalışmalarından bizim için gerekli olan kısımları verilmiştir. Bu çalışmalarda incelenen denklemlerin, homogen kısımlarının lineer bağımsız çözümlerinin sayısı ile eşlenik homogen denklemlerin lineer bağımsız çözümlerinin sayısı sonlu ve aynıdır. Çalışmanın devamında, bu özelliğin sağlanmadığı Cauchy çekirdekli singüler integral denklemlerin kısa bir teorisine bakılmış ve bu denklemlerin çözülebilirliğini veren, bugün Noether teoremleri adıyla anılan teoremler verilmiştir. Daha sonra, Noether teoremlerini daha soyut denklemler için inceleyen F.V.Atkinson 'un [2] çalışmasına bakılmıştır.

Z.I.Halilov [3], Cauchy çekirdekli singüler integral denklemlere, operatör denklemleri gözüyle bakmış ve bu denklemlerin soyut halini incelemiştir. İlk olarak Halilov 'un tanımladığı ve normal tipli genel singüler denklem adını verdiği denklem türleri bu çalışmanın temelini oluşturmaktadır. Halilov, bu tip denklemlerin Noether teoremlerini sağladığını gösterdikten sonra, YU.I.Cherskii [4], bu tip denklemleri faktörizasyon işlemlerini kullanarak benzer Riemann sınır değer problemine indirgemiş ve bir çözüm vermiştir.

Bu çalışmanın amacı, Halilov 'un çözülebilirliğini gösterdiği normal tipli genel singü\-ler denklemler için Cherskii 'nin verdiği çözüm yönteminden daha basit ve kolay bir çözüm yöntemi vermektir. Bulgular kısmında verilen bu yeni yöntem, faktorizasyon işlemleri kullanılmadan normal tipli genel singüler denklemlerin çözümünü elde etmemizi sağlamaktadır. Son olarak, bu yöntemin bir uygulaması yapılmış, bir sınıf konvolüsyon tipli integral denklemin çözümü verilmiştir.
 [1] NIKOLSKII, S., 1943, Linear Equations in Normed Linear Space, Izv.Akad.Nauk SSSR, Ser. Mat, 7:3, 146-166 (Rusça)
[2] ATKINSON, F.V., 1951, The Normal Solubility of Linear Equations in Normed Space, Mat. Sb.(N.S.), 28(70):1, 3-14 (Rusça)
[3] HALILOV, Z.I., 1949, Linear Singular Equations in a Normed Ring, Izv.Akad.Nauk SSSR, Ser. Mat 13:2, 163-176 (Rusça)
[4] CHERSKII, YU.I., 1957, The General Singular Equation and Equations of Convolution Type, Mat.Sb .41:3(83), 277-296 (Rusça)
 [5] YOSIDA, K., 1974, Functional Analysis, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 123, Springer-Verlag