2011 YÜksek lisans tez özetleri

Konneksiyonların Geometrisi

Konneksiyonların geometrisini incelemek için öncelikle yoğun bir biçimde analiz, cebir ve topoloji bilgilerinin gözden geçirilmesine gereksinim duyulmaktadır. Bu hazırlıklar sonucunda, bu bilgilerin diferansiyel geometri içinde nasıl kullanıldığını görmek bu tezin temel amacıdır.

Bu çalışma, diferansiyellenebilir manifoldlar ve diferansiyellenebilir manifoldlar üzerinde tanımlanan bazı temel kavramlar, lineer konneksiyonlar, Riemann manifoldları, tensör demetleri, vektör demetleri olmak üzere dört ana başlıktan oluşmaktadır.

Birinci kısımda, daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan ön bilgiler verilmiştir. Ardından diferansiyellenebilir manifold kavramı tanıtılıp örnekler verilmiş ve bu yapılar üzerindeki teğet vektör, vektör alanı, eğri ve diferansiyellenebilir dönüşüm kavramları incelenmiştir.

İkinci kısımda, bir diferansiyellenebilir manifold üzerinde lineer konneksiyon tanımı verilmiştir. Ayrıca bir lineer konneksiyona göre, bir diferansiyellenebilir manifold üzerindeki bir eğrinin jeodezik olması koşulu ifade edilmiştir.

Üçüncü kısımda, bir diferansiyellenebilir manifold üzerinde metrik alanı tanımlanmıştır. Buna ek olarak Riemann metriği, Riemann manifoldu ve Riemann konneksiyonu kavramları ifade edilerek Riemann konneksiyonunun burulmasız bir metrik konneksiyon olduğu gösterilmiştir. Öte yandan, bir Riemann manifoldundaki bir eğrinin jeodezik olması ile ilgili teoremler verilmiş ve sonuçlar elde edilmiştir.

Son kısımda ise tensör demeti kavramı incelenmiş ve bu yapının bir diferansiyellenebilir manifold olduğu kanıtlanmıştır. Bunun yanı sıra vektör demetleri, tensör demetleri, çatı demetleri, asal lif demetleri kısaca tanıtılmış ve bu yapıların diferansiyellenebilir manifoldlarla olan bağlantısı ortaya konmuştur.