9-Mavzu. Funksional qatorlar. Tekis yaqinlashish tushunchasi. Veyershtrass alomati tekis yaqinlashuvchi qatorning xossalari. Darajali qatorlar. Abel teoremasi

Funksional qatorning tekis yaqinlashishi. (1) funksional qator to‘plamda yaqinlashuvchi bo‘lib, yig‘indisi bo‘lsin.
Agar ixtiyoriy son olinganda shunday ga bog‘liq bo‘lmagan son topilsaki, barcha va ixtiyoriy uchun

ya’ni

tengsizlik bajarilsa, (1) funksional qator to‘plamda tekis yaqinlashuvchi deyiladi.
Veyershtrass alomati. Agar (1) funksional qatorning har bir hadi to‘plamda quyidagi
, ( dа) (3)
tengsizlikni qanoatlantirsa va
(4)
sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda (1) funksional qator to‘plamda tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi.
3-misol. Ushbu

funksional qator tekis yaqinlashishga tekshirilsin.
◄ Ravshanki, berilgan qatorning umumiy hadi

bo‘lib, uning uchun
.
bo‘ladi. Ayni paytda

sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lganligi sababli berilgan funksional qator Veyershtrass alomatiga ko‘ra da tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi. ►
Darajali qatorlar. Ushbu
(5)
ko‘rinishdagi funksional qator darajali qator deyiladi, bunda

haqiqiy sonlar darajali qatorning koeffitsiyentlari deyiladi.
Abel teoremasi.Agar (5) darajali qator nuqtada yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida, ya’ni
intervalda qator absolyut yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Agar (5) darajali qator nuqtada uzoqlashuvchi bo‘lsa, ya’ni

sonli qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarda, ya’ni ushbu to‘plamda (5) qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Yaqinlashish radiusi va yaqinlashish intervali.
Har qanday (5) darajali qator uchun shunday chekli yoki cheksiz musbat son mavjud bo‘ladiki, ning:
1) tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida (5) darajali qator yaqinlashuvchi (absolyut yaqinlashuvchi),
2) tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida (5) darajali qator uzoqlashuvchi,
3) , ya’ni da (5) darajali qator yoki yaqinlashuvchi, yoki uzoqlashvchi bo‘ladi.
Odatda son (5) darajali qatorning yaqinlashish radiusi, interval esa darajali qatorning yaqinlashish intervali deyiladi.
(5) darajali qatorning yaqinlashish radiusi ushbu
(6)
formula yordamida topiladi.
Darajali qator o‘zining yaqinlashish intervaliga tegishli bo‘lgan har qanday oraliqda (segmentda) tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bu oraliqda darajali qatorni hadlab differensiallash hamda integrallash mumkin.