Activites de recherche et formation doctorale

1.1 : Introduction

Mes premiers essais de développement de modèle numérique, lors de ma thèse, dans une géométrie pas très complexe, et de petites dimensions, m’ont rendu très prudent quand, quelques années après, j’ai eu en charge la modélisation des transferts thermiques, tant dans un habitacle automobile que dans un bâtiment.

Ces grands volumes, aux formes parfois complexes, avec une évolution constante des conditions aux limites, posaient, au début des années 90, des problèmes numériques non résolus.
Certains modèles étaient très simplifiés, obtenus directement ou par réduction automatique de modèles de connaissance. Pour permettre de calculer l’évolution des températures en régime dynamique, ils ne prenaient en compte que quelques dizaines de nœuds de simulation, et seulement une température intérieure moyenne. Si, globalement, ils permettaient de prédire correctement différents bilans thermiques, ils étaient incapables de servir de base à une appréciation du confort généré, et ne pouvaient, par exemple, pas déterminer qu’elle était la meilleure position pour un émetteur de chaleur dans une pièce. De plus, il était impossible d’y représenter les transferts aérauliques, pourtant très importants dans le dimensionnement de nombreux systèmes de chauffage et climatisation.
L’émergence, à la fin des années 80, des premiers codes de mécanique des fluides avait poussé certaines équipes à tenter de modéliser avec ces nouveaux outils prometteurs les transferts aérauliques et thermiques dans ce type d’enceintes. Ces codes proposaient la résolution des équations de NAVIER STOKES, après maillage du volume et des surfaces des parois en contact. Ce sont les températures de ces parois qui constituaient les conditions aux limites, il fallait donc les obtenir par des calculs préliminaires, prenant en compte les transferts conductifs et les échanges radiatifs. Le couplage avec les échanges convectifs entraînait ensuite des itérations très longues et coûteuses en temps de calcul.
Afin d’obtenir des écoulements réalistes, le nombre de nœuds d’air dépassait souvent les 100 000, et il devenait quasiment impossible de valider quoi que ce soit avec des mesures expérimentales. Le centre de calcul de TOYOTA, sur son calculateur le plus puissant, avait besoin de 60 heures de temps CPU pour trouver une solution convergente de régime permanent des transferts thermiques dans un habitacle automobile. De plus, la prise en compte des caractéristiques de parois était très peu précise, avec des erreurs atteignant la dizaine de degrés, et engendrait donc des solutions irréalistes.
A la même époque, le Centre d’Energétique de l’Ecole des Mines de Paris, en partenariat avec une filiale du CEA, testait à SOPHIA ANTIPOLIS le développement d’un outil permettant de résoudre les systèmes d’équations algébro-différentielles : NEPTUNIX (dans sa version 2).
C’est dans cet environnement que nous avons décidé de formaliser la résolution des équations qui régissent les transferts thermiques dans les enceintes habitables.

1.2 : Le langage de description des équations

Le langage de description de modèle de NEPTUNIX permet l'expression directe des systèmes décrits par f(x, x', p, l, T) = 0 (x vecteur des variables continues, p vecteur des paramètres, l vecteur des variables événementielles, T variable indépendante) [2].

T, variable indépendante est le plus souvent le temps, surtout dans un problème en régime dynamique. On formalise une dérivée seconde, z, d’une variable x, par la dérivée de la dérivée première, et ainsi de suite : par exemple :

0 = - x’ + y

0 = - y’ + z
L'algorithme numérique utilisé par NEPTUNIX est un schéma de GEAR modifié, à ordre et pas variables, qui permet la gestion des discontinuités et l’interaction des parties continues et événementielles. Cet algorithme est adapté aux systèmes à fortes discontinuités.
Cet algorithme est un prédicteur correcteur dont le correcteur est un NEWTON-RAPHSON. L'algorithme de NEWTON-RAPHSON nécessite à chaque itération le calcul de la matrice JACOBIENNE, J=df(i)/dx(j)) ainsi que la résolution du système linéaire : J*delta=-f(x,x',p,l,T).
Les équations des modèles sont en général des équations avec peu de variables, la matrice JACOBIENNE est donc une matrice « creuse » (très peu d'éléments non nuls). Il est intéressant pour les optimisations de profiter de cette caractéristique. Les méthodes de résolution linéaire se divisent en méthodes directes et méthodes itératives. NEPTUNIX utilise une méthode directe appelée méthode de CROUT (décomposition LU par colonne) qui est une variante de la méthode de GAUSS intéressante pour les matrices creuses.
NEPTUNIX utilise le calcul formel pour la génération automatique du code de calcul de la JACOBIENNE (dérivation formelle) ainsi que le code de calcul de sa décomposition LU et la résolution du système linéaire. Si la première tâche est assez facile, la seconde est beaucoup plus difficile car la problématique des méthodes directes revient à choisir à chaque étape l'élément pivot. Il faut aussi tenir compte des propriétés creuses de la matrice pour éviter le remplissage de celle-ci. Le défi ici est de faire ce choix de manière formelle tout en garantissant la stabilité numérique ainsi qu'un temps de calcul réduit. Les approches purement numériques de ce problème peuvent engendrer des instabilités.
NEPTUNIX utilise aussi le calcul formel pour générer un code de calcul des conditions initiales du système, point dur de la formulation implicite par manque de convergence globale de l'algorithme de NEWTON-RAPHSON. Les valeurs initiales des degrés de liberté sont propagées dans les équations algébriques. On calcule de proche en proche les valeurs des variables décrites par des équations algébriques.
La problématique posée par l'ensemble de ces fonctionnalités est de disposer d'un moteur de calcul formel performant pour pouvoir traiter des problèmes de plusieurs milliers d'équations ainsi que des algorithmes pertinents. NEPTUNIX utilise un algorithme d'explicitation des équations (couplage heuristique maximal dans un graphe bi réparti). Ce mariage des équations et des variables permet tout à la fois de résoudre formellement le modèle et de décomposer la matrice JACOBIENNE. S’il reste des couples célibataires, le logiciel utilise un critère de MARKOWITZ généralisé avec politique de pivot total pour le choix des pivots restants de la décomposition LU.
Les caractéristiques intrinsèques du solveur NEPTUNIX permettent au développeur de se consacrer à l’écriture des équations, puis à l’analyse des résultats obtenus, et de confier au logiciel la résolution numérique du système d’équations.
En règle générale, l’écriture, en format texte, se fait de manière très naturelle.
Après une série de déclarations, le système d’équations est décrit, ainsi que les conditions aux limites (dans un formalisme identique). Il est possible de forcer les pivots au niveau de chacune des équations. Il ne reste plus qu’à définir le pas de temps, les conditions de convergence, et la simulation peut être lancée.
Le post-traitement des tableaux de résultats est ensuite possible, sous la forme de courbes représentant l’évolution temporelle de variables sélectionnées. Les calculs de bilan, par contre, doivent être intégrés comme des équations du système, et sont calculés pendant la résolution.
Les premiers travaux menés dès 1989 [C9] ont été la mise en équations, dans le formalisme du solveur choisi, des 3 principaux modes de transfert thermique, associé à un maillage adapté des volumes internes et des enveloppes faisant l’interface avec l’environnement. Enfin, le formalisme de ces systèmes d’équations est rigoureusement identique à celui décrivant le comportement des systèmes « climatiques » couplés à ces enceintes, et équipés de leurs propres lois de régulation et commande.
Ceci nous a permis de créer des simulateurs complets, en régime dynamique, du comportement en conditions réelles d’une enceinte habitée.