Amaliy matematika

MIRZO ULUG‘BEK NOMIDAGI O‘ZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETI JIZZAX FILIALI

“AMALIY MATEMATIKA” FAKULTETI “AMALIY MATEMATIKA VA INFORMATIKA” YO’NALISHI 104.19-GURUH TALABAS NAZARBOYEV NAIMJONNING “MATEMATIK MODELLASHTIRISH” FANIDAN TAYYORLAGAN
MUSTAQIL ISHI

MAVZU: Tabiatning fundamental qonunlaridan modellar yaratish.
Jizzax-2023

1. 
   Dengiz osti kemasining traektori. Dengiz sathidan H chuqurligida t = 0 vaqtida joylashgan va doimiy gorizontal tezlik v bilan harakatlanadigan dengiz osti kemasi (shakl. 2.1), sirtga ko'tarilish buyrug'ini oladi. Suvosti kemasi tanklar suv ozod va uning o'rtacha zichligi kichik suv zichligi kamroq bo'lib, shunday qilib, havo bilan to'ldirilgan bo'lgan vaqt davri , kichik bo'lsa, biz bu vaqtda t=0 dengiz osti kemasining og'irligiga nisbatan katta kuch, itarib harakat boshlaydi, deb taxmin qilish mumkin. Arximed qonuniga ko'ra , itarish kuchi g-erkin tushishning tezlashishi , v - suv osti kemasining hajmi. Dengiz osti kemasida vertikal yo'nalishda harakat qiladigan umumiy kuch F va tana vazni o'rtasidagi farq bo'lib, u Nyutonning ikkinchi qonuniga muvofiq tezlashuvga teng.
   

Dengiz osti kemasining gorizontal holatini tavsiflovchi i koordinatasi tananing harakat qonuniga ko'ra doimiy tezlikda o'zgaradi:

Ushbu tenglamalarni echishda biz quyidagilarni topamiz:

va qayiq t = tk vaqtida yuzaga chiqadi

Shu bilan birga, dengiz osti kemasi gorizontal yo'nalishda masofani bosib o'tadi

1. 
   vaqtdan tashqari, dengiz osti kemasining harakat yo'nalishini koordinatalarda topamiz (I, h),
   

I = 0, h = 0 nuqtasida (qayiqning chiqish (1) vertikal tezligi, shuningdek, i va h qiymatlari t = 0 vaqtida nolga teng bo'lgan parabola bo'lib chiqadi ). Bundan tashqari, F va P dan tashqari boshqa vertikal kuchlar ham dengiz osti kemasida ishlamaydi. Bu taxmin faqat qayiqning harakatiga suvning qarshiligini e'tiborsiz qoldirishingiz mumkin bo'lgan past tezlikda yuzaga keladi.

Shunday qilib, Arximed qonunining to'g'ridan-to'g'ri qo'llanilishi, kuch-quvvat kuchini va Nyuton qonunini belgilaydi, bu esa tanaga ta'sir qiluvchi kuchni va uning tezlashishini dengiz osti kemasining traektoriyasini osongina topish imkonini berdi.

Shubhasiz, parabolik traektoriya tekislikda harakatlanadigan har qanday jismga ega bo'lib, yo'nalishlardan biriga doimiy tezlik va boshqa yo'nalishda doimiy kuch (tenglamalar (1) aslida parabolning parametrik rekordini beradi) ta'sir ko'rsatadi. Bunday harakatlar, masalan, gorizontal tezlik v bilan H balandligidan tashlangan toshning parvozi yoki tekis kondansatörün elektr maydonida elektron parvozini o'z ichiga oladi. Biroq, ikkinchidan, tananing traektoriyasini to'g'ridan-to'g'ri asosiy qonunlardan olish mumkin emas, batafsilroq amaliyotni qo'llash kerak. Keling, bu masalani batafsil ko'rib chiqaylik.
Zaryadlangan zarrachaning katot nurlari naychasida Sapishi. Biz bu kapasitörün qoplama katod nur naycha (FIG. 2.2) cheksiz samolyotlarni ifodalaydi

Shakl. 2.2.

(agar plitalar orasidagi masofa ularning kattaligidan ancha kichik bo'lsa va elektron ularning qirralaridan katta masofada harakat qilsa, taxmin qilish haqiqiydir). Shubhasiz, elektron pastki qoplamaga jalb qilinadi va yuqoridan boshlanadi. Ikki xil nomdagi ayblovlarning f-ni jalb qilish kuchi Coulomb qonunidan oddiy tarzda aniqlanadi

Q1 va q2-bu to'lovlar miqdori, r-ular orasidagi masofa. Qiyinchilik shundaki, bu misolda plastinka ustida juda ko'p ayblovlar mavjud, ularning har biri harakatlanuvchi elektrondan masofada joylashgan. Shuning uchun birinchi navbatda har bir zaryaddan kelib chiqadigan kuchni topish kerak, so'ngra barcha elementar kuchlarni jamlab, qoplamalarning elektronga ta'sirini aniqlash kerak.

R1, r2, r3 koordinatalari bilan tavsiflangan elementar "chiziqlar" ga pastki qoplamaning barcha tekisligini ajratamiz ; r₂ = 0 (см. рис. 2.2).
DS=dr1 dr3 elementar platformasida joylashgan va dq=q0ds ga teng bo'lgan zaryad bilan elektronning tortish kuchini hisoblang, bu erda q0 qoplamadagi zaryadning sirt zichligi. Agar zarracha zaryadlangan tekislikdan r2 masofada bo'lsa, u holda

((bu erda da qiymatining kichikligi hisobga olinadi ). DDR3 miqdorini aniqlash uchun

Oxirgi ikki formuladan

bu erda, avvalgi kabi, qiymatning kichikligi ham hisobga olinadi . Ddr1ni ddr3 bilan ko'paytirib, yuqori darajadagi kichik buyurtma a'zolarini tashlab,

. DS Elementary Padga QE zaryad bilan elektronni jalb qilish kuchi tengdir

bu erda r-elektrondan platformaga "o'rtacha" masofa, bu miqdorlarning kichikligini hisobga olgan holda formula bilan hisoblanadi Natijada, elementar kuch uchun

va uning vertikal komponenti uchun

Ifodani kiritish uchun tomonidan dan gacha

R1 > 0, r3 > 0 maydonida joylashgan elementar "chiziq" qismiga elektronning tortish kuchini toping:

Hosil qilish tomonidan dan gacha

R1 > 0, r3 > 0 kvadrantining barcha chiziqlarida biz ushbu kvadrantda joylashgan to'lovlar bilan bog'liq tortish kuchini aniqlaymiz:

Pastki plastinaning barcha to'rtta kvadrantining harakatini hisobga olgan holda va yuqori qoplama uchun shunga o'xshash dalillarni keltirib chiqaradigan bo'lsak, biz elektronni kondansatörün barcha zaryadlariga jalb qilish (repulsiv) kuchini olamiz

F kuchi R2 o'qi bo'ylab pastki plastinaga (R1, r3 o'qlari bo'yicha f tarkibiy qismlari simmetriya tufayli nolga teng - bunga ishonch hosil qilish uchun R1 < 0, r3 < 0 va nosimmetrik DS maydonchasida joylashgan saytda joylashgan zaryadning ta'sirini ko'rib chiqish kifoya ).

F kuchi R2ga bog'liq emas va gorizontal o'qda zarracha doimiy tezlik v bilan harakat qiladi, shuning uchun avvalgi elementning holatiga o'tamiz - Nyutonning ikkinchi qonunini qo'llash orqali elektronning parabolik traektoriya bo'ylab harakatini tasvirlaydigan va uning barcha parametrlarini hisoblash imkoniyatini beruvchi (1) o'xshash formulalarni olish oson. Biroq, suv osti kemasidan farqli o'laroq, elektronning harakat modelini olish uchun Coulomb asosiy qonunidan bevosita foydalanish mumkin emas. Asosiy qonunga tayanib, birinchi navbatda, ayblovlarning o'zaro ta'sirining boshlang'ich harakatini tasvirlash uchun zarur bo'lgan va keyinchalik bu harakatlarning barchasini jamlab, natijada paydo bo'lgan kuchni topishga muvaffaq bo'ldi.
Bunday vaziyat va harakatlar ketma-ketligi modellarni qurishda juda xosdir, chunki ko'pgina asosiy qonunlar asl ob'ektning boshlang'ich qismlari o'rtasidagi munosabatlarni o'rnatadi. Bu, albatta, faqat elektr kuchlari uchun emas, balki, masalan, tortishish kuchlari uchun ham amal qiladi.

2. 
   Saturn nomidagi halqalarning salınımları. R0 chiziqli zichligi P0 radiusli moddiy halqa tomonidan yaratilgan tortishish kuchlari sohasida M0 nuqta massasining harakat modelini quramiz. Ring cheksiz nozik hisoblanadi, harakat ring o'qi bo'ylab sodir bo'ladi( shakl. 2.3).
   

Shakl. 2.3.

Ushbu sxema Saturn nomidagi halqalarning tebranish jarayonini idealizatsiya qilish deb qaralishi mumkin. Shunga qaramay, jiddiy soddalashtirishga qaramasdan, universal tortishish qonunidan bevosita foydalanish

bu erda F-M0 va m1 massalari bo'lgan ikkita jismni jalb qilish kuchi, r-ular orasidagi masofa-doimiy tortishish, Saturn nomidagi halqalarning yakuniy modelini bera olmaydi, chunki massa M0, m1 nuqta bo'lishi kerak.

Shuning uchun, birinchi navbatda, nuqta massasi M0 va dm massasi orasidagi tortish kuchini hisoblang, u allaqachon nuqta deb hisoblanishi mumkin bo'lgan dl halqasining kichik elementida joylashgan:

Bu erda R, r-M0 massasidan ringga va ringning markaziga masofa. Shubhasiz, qachon uchun hisob-kitoblar o'xshash

Chunki

DF quvvatining proektsiyasini r o'qi bo'yicha topamiz (bu bizni qiziqtirgan harakatni aniqlaydigan ushbu proektsiya):

Endi halqaning barcha elementlari tomonidan yaratilgan tortishish kuchini jamlab, ya'ni. dasturiy ta'minotdan tortib to kompleksni olib, natijada paydo bo'lgan kuchni topamiz:

bu erda -halqaning to'liq massasi. Oldingi paragrafda bo'lgani kabi, natijada paydo bo'lgan kuchning gorizontal proektsiyasi M0 massasiga nisbatan halqaning nosimmetrik joylashuvi tufayli nolga teng.

Gravitatsiya kuchi (3) nuqta massalari uchun qonun tomonidan berilgan ifodadan sezilarli darajada farq qiladi, faqatgina ringning o'lchamlari bilan taqqoslaganda, og'irlikdagi jismlar orasidagi masofa tufayli nuqta massasiga o'xshash bo'lishi mumkin. Agar shunday bo'lsa

va tortish kuchi, nuqta massasining holatidan farqli o'laroq, ob'ektlar orasidagi masofani kamaytirish bilan kamayadi.

M0 massasiga Nyutonning ikkinchi qonunini qo'llash orqali biz r o'qi bo'ylab uning harakatining tenglamasini olamiz:


1 va p. 2 dan farqli o'laroq, bu juda noaniq va faqat lineer bo'lib qoladi




4. Xulosa.
1. Eng oddiy holatlarda ham modelni yaratish uchun bir emas, balki bir nechta asosiy qonunlarni qo'llash kerak bo'lishi mumkin.
2. Asosiy qonunlarni ob'ektga to'g'ridan-to'g'ri rasmiy ravishda qo'llash, butun sifatida ko'rib chiqilishi har doim ham mumkin emas. Bunday hollarda ob'ektning xususiyatlarini (masalan, uning geometriyasini) hisobga olgan holda, uning qismlari o'rtasidagi o'zaro ta'sirning asosiy harakatlarini jamlash kerak.
3. Xuddi shu modellar turli xil asosiy qonunlarga bo'ysunadigan va aksincha, bu qonunga asosan turli xil modellar (masalan, lineer va chiziqli bo'lmagan) javob berishi mumkin bo'lgan tabiatda mutlaqo boshqa narsalarni tasvirlashi mumkin.
4. Modelni qurishning to'g'riligini tekshirish uchun barcha imkoniyatlardan foydalanish kerak.
1. Matematik dasturlash tushunchasi
Matematik dasturlash - bu matematik intizom bo'lib, unda maqsadli funktsiyaning haddan tashqari qiymatlarini aniqlash usullari cheklovlar bilan belgilanadigan mumkin bo'lgan qiymatlar majmui orasida ishlab chiqilgan.
Cheklovlarning mavjudligi matematik dasturlash muammolarini funktsiyaning haddan tashqari qiymatlarini topish uchun matematik tahlilning klassik vazifalaridan tubdan farq qiladi. Matematik dasturlash vazifalarida qo'shimcha funktsiyalarni topish uchun matematik tahlil usullari yaroqsiz.
Matematik dasturlash muammolarini hal qilish uchun maxsus usullar va nazariyalar ishlab chiqilgan va ishlab chiqilgan. Ushbu muammolarni hal qilishda katta miqdordagi hisob-kitoblarni amalga oshirish kerakligi sababli, usullarni qiyosiy baholashda kompyuterlarda ularni amalga oshirishning samaradorligi va qulayligi katta ahamiyatga ega.
Matematik dasturlash muayyan vazifalarni hal qilish usullarini o'rganish va ishlab chiqish bilan shug'ullanadigan mustaqil bo'linmalar majmuasi sifatida qaralishi mumkin.
Maqsad funktsiyasining xususiyatlariga va cheklovlar funktsiyasiga qarab, matematik dasturlashning barcha vazifalari ikkita asosiy sinfga bo'linadi:
* lineer dasturlash vazifalari,
* chiziqli bo'lmagan dasturlash vazifalari.
Agar maqsadli funktsiya va cheklovlar vazifalari lineer funktsiyalardir, unda favqulodda vaziyatni izlash vazifasi lineer dasturlash vazifasidir. Agar ushbu funktsiyalardan kamida bittasi noaniq bo'lsa, unda qo'shimcha ma'lumotni topishning tegishli vazifasi chiziqli bo'lmagan dasturlash vazifasidir.
2. Chiziqli dasturlash tushunchasi. Lineer dasturlash vazifalari turlari
Lineer dasturlash (LP) matematik dasturlashning birinchi va eng batafsil o'rganilgan bo'limlaridan biridir. Bu " matematik dasturlash "intizomi rivojlana boshlagan bo'lim edi. "Dasturlash" atamasi intizom nomi bilan "kompyuterlar uchun dasturlash (ya'ni dasturni tuzish)" atamasi bilan hech qanday aloqasi yo'q, chunki "chiziqli dasturlash" intizomi matematik, muhandislik, iqtisodiy va boshqa muammolarni hal qilish uchun kompyuterlar keng qo'llanilguncha paydo bo'ldi.
"Chiziqli dasturlash" atamasi ingliz tilidagi "chiziqli dasturlash"ning noto'g'ri tarjimasi natijasida paydo bo'ldi. "Dasturlash" so'zining ma'nolaridan biri - rejalar tuzish, rejalashtirish. Shunday qilib, ingliz tilidagi "chiziqli dasturlash" ning to'g'ri tarjimasi "chiziqli dasturlash" emas, balki "chiziqli rejalashtirish" emas, bu intizomning mazmunini yanada aniqroq aks ettiradi. Biroq, atamalar chiziqli dasturlash, chiziqli bo'lmagan dasturlash, matematik dasturlash va boshqalar.
Shunday qilib, lineer dasturlash ikkinchi jahon urushidan keyin paydo bo'ldi va matematiklar, iqtisodchilar va muhandislarning e'tiborini keng amaliy foydalanish imkoniyati, shuningdek, matematik uyg'unlik tufayli tez rivojlana boshladi.
Lineer dasturlash haqiqiy dunyo chiziqli vakillik gipotezasiga asoslangan jarayonlar va tizimlarning matematik modellarini hal qilish uchun qo'llanilishi mumkin.
Lineer dasturlash iqtisodiy muammolarni hal qilishda, ishlab chiqarishni boshqarish va rejalashtirish kabi vazifalarda qo'llaniladi; dengiz kemalarida, ustaxonalarda uskunalarni optimal joylashtirishni aniqlash vazifalarida; yuklarni tashishning optimal rejasini (transport vazifasini) aniqlash vazifalarida; kadrlarni optimal taqsimlash muammolari va boshqalar.
Lineer dasturlash (LP) vazifasi, yuqorida aytib o'tilganidek, lineer cheklovlar uchun chiziqli funktsiyaning minimal (yoki maksimal) darajasini topishdir.