Analiza, sinteza şi procesarea semnaleloor digitale
Yüklə 77,73 Kb.
|
|
ANALIZA, SINTEZA ªI PROCESAREA SEMNALELOOR DIGITALE Introducere Scopul lucrãrii ¨C este fixarea cunostinþelor despre semnalele utilizate în electronicã, cu accent pe latura calitativã a studiului. - sunt prezentate aprofundat douã “studii de caz”, dintre care “Tehnica Ferestruirii” este esenþialã pentru achiziþiile de date în vederea mãsurilor a procesãrilor pentru telecomunicaþii, a procesãrilor de imagini, etc. Necesitãþi hard: calculator compatibil IBM-PC Necesitãþi soft: - setul de programare PCDSP (“Digital Signal Processing On Personal Computers”) autor: Oktay Alkin, Universitatea “Southern Illinois” Edwardsville ¨C S.U.A. setul de fiºiere de date ce reprezintã desfãºurarea completã a lucrãrii de laborator
Încãrcare Date Salvare Aritmeticã Citire Adunare Nucleu DOS Secv+Secv Lista variabile Const+Secv Stergere Multiplicare Tipãrire Secv * Secv Restart Const* Secv Filtre Conjugat Filtre RFI Real Proiectare Imeginar Analizã Par Filtre RII Impar Proiectare Generare Analizã Rampã Procesare Fereastrã Extern Rectangularã Spectre Triunghiularã Periodograme Blackman Blackman-Tukey Hamming Auto-regresiv Hanning AR-meie mobilã Medie mobilã Impuls Grafice Sin Variabile Cos Opþiuni Exp Reset Normal Încãrcare Uniform Salvare Nelinear Afiºare Amplitudine Macro Fazã Ieºire Sin Cos
Tg Exp
Ln Radical
Reciproc Procesare Convoluþie Auto-corelaþie Corelaþie Translaþie Decimare Înserare 0 Adãugare 0 Transformate TFR TFR-Inv
TFD TFD-Inv
Z-Inv Editare
Copiere Basculare Adãugare Complex
- În fiecare etapã se recomandã afiºarea pe ecran a notelor explicative, accesibile prin tastarea Documentaþia explicativã pentru lucrarea de laborator ¨C este structuratã, dat fiind specificul soft al lucrãrii, prin întrepãtrunderea ¨C operaþiunilor de executat de cãtre student (caractere supra-imprimate (“Bold”))
obeservaþiilor (caractere normale) detaliile specifice deutilizare a PCDSP (caractere cursive (“Italice”)) Modul de lucru ¨C pentru a avea posibilitatea unui studiu calitativ ºi a face toate observaþiile fãrã consum inutil de timp pentru operare ºi rulare, deºi se recomandã parcurgerea tuturor etapelor din tehnologia lucrãrii, se poate apela în caz de dificultate sau, eventual, pentru verificare, la fiºierele *.DSP de pe disc ce conþin toate rezultatele. Conþinutul referatului ¨C un rezumat cuprinzând, principal, operaþiile fãcute; se recomandã respectarea succesiunii din desfãºurarea lucrãrii , împreunã cu rezultatele mãsurãtorilor ºi observaþiile cerute, fãrã detaliile de sintaxa prezentate între paranteze paranteze drepte sau detaliile specifice de utilizare a PCDSP prezentate cu litere cursive ºi , doar opþional, eventuale consideraþii teoretice, formule sau reprezentãri grafice sumare. Desfaºurarea lucrãrii Sinteza semnalelor ¨C se face în principal, în modul DATE / GENERARE al PCDSP, fie prin specificare functional-analitica, fie dintr-un set de forme prestabilite sau secvenþe aleatoare cu distribuþie normalã sau uniformã ( vezi notele explicative, accesibile pe ecran cu tasta µ §
(v.aplicaþia 3.4, pag108. din curs) Programul determinã ca transformata z inversã a lui Y(z) specificat ca fracþie raþionalã, µ §, prin înpãrþire continuã nelimitatã a numãrãtorului, notat A(y) a lui Y(y) la numitorul sau, notat B(z), (cu rezultatul aproximativ determinat în aplicaºia din curs ºi din definiºia transformatei z ca serie de puteri) µ §,
Intrarea pentru PCDSP o constituie polinomul Aµ §, scris cu puteri pozitive, scris cu puteri pozitive ale lui z, prin intermediul unei secvenþe ce conþine coeficienþii puterilor lui z în ordinea descrescãtoare a acestora din urmã. polinomul B(z) de la numitor, specificat la fel, ºi numãrul de împãrþirii pe care sã le facã programul, din ºirul infinit de împãrþirii nelimitate (s-au presupus A(z) ºi B(z) ireductibile), deci n maxim din ºirul {µ §} aproximat. * Se încarcã de pe disc fiºierul YA_.DSP, ce conþine secvenþa A, specificaþie pentru A(z), [SISTEM / ÎNCARCARE * Se repetã operaþiunea pt. YB_.DSP, secvenþa B. Se pot verifica coeficienþii lui B(z) din formula analitica de mai sus { Secvenþele A ºi B s-au creat þn modul system / citire , cu respectarea normelor sintactice indicate ºi în notele explicative (accesibile cu tasta [F1]) : fiecare coeficient se introduce ca pereche (real, imaginar), coeficienþii separaþi prin caractere”;”} * Se calculeazã transformata z inversa lui Y(z), pentru 6 eºantioane care se listezã, se trec în urmãtorul tabel ºi se Compara cu valorile analitice , µ §, : (vezi aplicaþia din curs)
(vezi paragraf 2.8 curs) Corelaþia µ § Se aproximeazã (pt. µ §) µ § Zgomotul alb, v(t) [ cu densitatea spectralã de putere, d.s.p, µ §constantã pentru µ §, ºi cu medie nulã (deciµ § ºi deci ºi V(0)=0), reprezentabil cantitativ prin abatarea medie pãtraticã µ §, întrucât, în acest caz, pentru F=0, avem evident d.s.p, µ §] este util în identificarea sistemelor, oferind o metodã practica de determinare a funcþiei pondere: corelaþia între intrarea de tip zgomot alb ºi ieºirea sistemului, v(t) µ §y(t) reprezintã tocmai h(t) ( cu factorulde proporþionalitate µ §). Calculând , prin integrare între µ §ºi µ § µ § µ §
µ §(întrucât spectrul auto- corelaþiei zgomotului alb v(t) e constant, egal cu d.s.p, µ §) rezultã ca autocorelaþia zgomotului alb este tocmai impulsul Dirac de înãlþime µ §)
Observaþii: - trebuie evitatã confuzia dintre d.s.p constanta a zgomotului alb ºi spectrul Fourier constant al impulsului Dirac. Doar modulul spectrului Fourier al zgomotului alb e constant. - corelaþia de identificare prezentatã anterior , trebuie fãcutã, din motivele expuse mai sus, cu exact acelaºi semnal v(t) care se aplicã ºi la intrarea sistemului analizat, ºi în aceeaºi ordine, întrucât, spre deosebire de convoluþie, corelaþia nu e comutativã. - comparativ cu metoda teoreticã de aplicare la intrarea sistemului necunoscut a unui impuls cât mai apropiat de impulsul unitate (Dirac) ideal ºi mãsurarea ieºirii h(t) (difcultãþi practice de generare ºi mãsurare), metoda de identificare prin corelaþie are, în compensaþie, de rezolvat un calcul, într-un bloc suplimentar, corelatorul.
HN µ §HN în 0 (energia, propriu-zisã a SEMNALULUI HN) (v. Paragraful2.14 pag.53-curs) [DATE / PROCESARE / CONVOLUÞIE (\)AUTO-CORELAÞIE, < HNCONVHN (\) HNACORHN, HN, (HN) >])
[DATE/ GENERARE/ NORMAL * Se calculeazã ºi se vizualizezã (sprea a verifica obºinerea, cu aproximaþie, a unui impuls unitate) secvenþa ACZGOMOT, auto-corelaþia secvenþei ZGOMOT: [DATE/ PROCESARE/ AUTO-CORELAÞIE * Se calculeazã ºi se vizualizeazã secvenþa YYYY de la ieºirea sistemului de identificat, prin convoluþia intrãrii ZGOMOT cu funcþia pondere HN: [DATE/ PROCESARE/ CONVOLUÞIE * Se calculeazã ºi se vizualizeazã secvenþa HHNN, calculatã, pentru identificarea sistemului, drept corelaþia ZGOMOT µ §YYYY (atenþie la ordinea de calcul): [DATE/ PROCESARE/ CORELAÞIE < HHNN, ZGOMOT ,YYYY >].
Deci µ §µ § [DATE/GENERATE/SIN (se detaliazã un exemplu tratat analitic la seminar (v. ªi aplicaþia 3.7, pag 133-curs), în care s-au calculat coeficienþii seriei Fourier a sinusoidei 0 pentru k impar [perioada efectivã este redresate, µ § a)µ §0 pt. k impar [perioada efectivã este de 0,5 T(sinusoidã neredresatã)] b) µ §-2/µ § pentru k par µ §; µ § µ § µ §
SIN64µ §=sinµ §
[DATE/ TRANSFORMARE/ TFR * Pentru comparare cu coeficienþii seriei Fournier , în acest caz particular în care perioada efectivã e jumate din perioada luatã în calculul seriei Fourier, [µ §](m)/Nµ §) se împarte “TFR64”la 64: [DATE/ ARITMETICA/ MULTIPLIFICARE/ CONSTANÞÃ * Se listeazã pe ecran PSIN64: [SITEM/TIPÃRIRE/ * Considerând partea imaginarã nesemnificativã (spectrul unui semnal real e real), se comparã primele 4 valori cu µ §. t * Se pregãteºte FSIN64 pentru repzentare graficã (sunt admise doar secvenþe reale): [ DATE/ ARITMETICÃ/ REAL * Se decimeazã SIN64, obþinându-se SIN32: [DATE/ PROCESARE/ DECIMARE * Se continuã decimarea (SIN16, SIN8, SIN4) relând doar listarea valorilor, pentru comparaþie (inclusive cu calculele de la seminar, pt. N=4). 3.2. Calculul densitãþii spectrale de putere 3.2.1 Metoda periodogramelor - se bazeazã pe teorema Weiner-Hincin: Spectrul Fourier al auto-corelaþiei este densitatea spectralã de energie: (veyi paragraph 2.14, pag 53 din curs) µ § Interpretarea lui µ § ca densitate spectralã de energie rezultã din teorema Parseval (varinata Razleigh pt. semnale complexe) (vezi paragraful 1.1, formula 1.8, pag.6 din curs). µ § ºi se numeºte energia semnalului x(t) Se justificã astfel calculul aproximativ (estimativ) al densitãþii spectrale de putere ca “periodograma”: µ § (unde F e frecvenþa normatã µ §). Împãrþirea la N (durata normatã a duratei ferestrei de observaþie µ §). Face trecerea de la densitate spectralã de energie din formulele de mai sus la d.s. de putere. Pentru semnale nedeterminate (prezentate în detaliu la cursul de Tehnica Transmisiunii Informaþiei), se poate arãta ca abaterea medie pãtraticã a estimatului d.s.p. de mai sus nu se anuleazã când µ §, dar scade dacã se calculeazã d.s.p. ca medie a d.s.p. (metoda Welch a periodogramelor mediate) calculate pe segmente de lungime N din secvenþa de lungime N care se suprapun pe câte L eºantioane la capete (nu trebuie neapãrat ca N-L sã fie multiplu de M-L): 3.2.2 Metoda Blackman-Tukez ¨C conþine calculul bazat direct pe teorema Wiener-Hincin, al autocorelaþiei (pe suport aproximat la m=-M, ....,M) ºi apoi al spectrului acesteia, cu împãrþire la durata secvenþei: µ § Metoda estomãrii spectrale auto-regresive ¨C conþine calulcul aproximativ al unui filtru digital recursive, cu o funcþie de transfer fãrã zerouri în planul z, care, cu zgomot alb la intrare, sã furnizeze la ieºire secvenþa de date respectivã. Zgomotul alb, prezentat anterior,(vezi ºi notaþiile convenite) este util în acestã metodã prin relaþia spectralã de tip produs algebric dintre intrare- funcþie de transfer-ieºire, scrisã pentru d.s.p: µ §
Particularizatã: µ § Întrucât calculul filtrului, prin µ §, duce la un rezultat direct proporþional, prin µ §, cu d.s.p cautatã. Se calculeazã un filtru, ales doar cu poli în planul z, µ § pentru simplificarea sistemului de ecuaþii recursive “regresiv” corespunzãtor: µ § Dîndu-se secvanþa de intrare , {µ §}, ;I ordinal N al filtrului, se calculeazã coeficienþii µ §al filtrului (evident adaptat la forma semnalului de la ieºire) ºi µ §(care reprezintã cantitativ zgomotul alb de la intrare); coeficientul µ §se zice “coefficient de reflexie”. Cu µ §se calculeazã direct µ § ºi apoi estimatul d.s.p. Implementarea metodei se face prin 2 algoritmi de calcul care diferã mai ales în modul de rezolvare a sistemului recursive de tip “predicºie liniarã” de mai sus: algoritmul Yule-Wlaker ºi algoritmul Burg, dintre care utilizatorul este invitat sã aleagã.. În ambele cazuri, Akaike a demonstrate cã, pentru o estimare optimã a d.s.p., dintre valorile lui M trebuie aleasã cea pentru care µ § rezultã minim. 3.2.3 Metoda estimarii spectrale auto-regresive cu medie mobilã e o variantã a celei prezentate anterior, de data aceasta cu filtru digital fãrã poli în planul z, µ §, sistemul de ecuaþii generic, µ §, rezolvându-se prin metoda Durbin, care include o etapã Yule-Walker de ordinal I. L este “mobil” (poate fi ales de utilizator): µ §.
Pe lângã filtrarea spectralã de gardã asupra semnalului, (FTJ la µ §)conform criteriului Nyquist), se impune deci ºi o filtrare temporalã de gardã (trunchiere în timp, pe care o vom numi “ferestruire” pentru a deosebi de filtrarea spectralã) la N eºantioane/ observaþie, de exemplu pentru un transformator Hilbert sau Fourier numeric de ordin N. Semnalul de procesat va fi deci aproximat prin trunchiere. În urmãtoarea “fereastra temporalã” de lungime µ § se face o nouã observaþie (achiziþie), urmatã de un nou calcul de procesare. În general , pentru a spori viteza de prelucrare la un anumitN, sau a permite mãrirea lui N la aceeaºi vitezã de prelucrare, achiziþia unei noi secvenþe se face în pararlel cu calculul secvenþei precedente (viteza de achiziºie e în general mai amre decât viteza de calcul). Trnchierea propri-zisã (reþinerea a N eºantioane pãstrându-le întocmai valoarea) are unele dezavantaje tipice seriilor Fourier trunchiate, cu care asemãnarea se face pe baza dualitãþiii timp-frecvanþã. Astfel, seriile Fournier trunchiate la un numãr finit de coeficienþii spectrali, aproximeazã neconvenabil discontinuitatea semnalelor periodice. Pentru un tren de impulsuri dreptunghiulare periodice, semnalul aproximat sintetizat cu un numãr finit de coeficienþi spectrali are supracreºteri în aproximarea flancurilor care nu scad sub 17 %, chiar dac[ num[rul de coeficienþ cu care sintetizãm aproximantul creºte ºi supraceºterea devine tot mai îngustã ¨C “fenomenul Gibbs”. Semnalul sintetizat cu un numãr finit de coeficienþi spectrali corespunde în spectru cu o trunchiere (ferestruire) dreptunghiularã deci aproximantul convoluþia aproximantului cu sinus cardinal, ondulaþiile aproximantului ºi supracreºterile în dreptul falncuriloe fiind datorate laobilor laterali destul de pronunþaºi pe care îi are sinus cardinal. Dual, trunchiereaîn timp de tip fereastrã dreptunghiularã corespunde cu supracreºteri spectrale nedorite. Se justificã deci utilizarea trunchierii temporale, cu ferestre de pondere optimizate pe diferite criterii. Regularizarea prin convoluþie este nedoritã dacã se doreºte rezoluþie mare în evidenþierea oricãrei discontinuitãþi spectrale. Pentru rezoluþie mare, trebuie ca lobul principal al spectrului ferestrei sã fie foarte îngust ¨C durata mare a ferestrei) Pentru ripluri mici trebuie ca lobii laterali ai spectrului ferestrei sã fie foarte scunzi(- netezime mare a ferestrei în timp). Cele douã cerinþe sunt contradictorii: plecarea/sosirea în extremitãþii cu netezime cât mai mare (derivate nule pânã la un ordin tot mai mare) înseamnã racordare cu un clopot central al ferestrei tot mai îngust (deci locul central al spectrului se lãteºte) O apreciere globalã a ferestruirii x(t)f(t) a unui semnal x(t) cu o fereastrã f(t) este datã de abaterea spectralã. A(w)=[X(w)*F(w)]-X(w) Caracterizarea spectralã a ferestrei se face ºi cu parametrii: b ¨C frecvenþa la care lobul principal cade la valoarea de vârf a lobilor laterali (în unitaþi logaritmice, normata prin înmulþire cu durata ferestrei) a1) - valoarea de vârf a lobilor latrali (în [dB], relative la valoarea de vârf a lobului central) a2) - valoarea lobilor laterali la frecvenþa relativã 64 (la care se poate considera cã s-a atins comportamentul asimptotic ãn descreºterea lobilor laterali.) d ¨C panta de descreºtere asimptoticã a anvelopei lobilor laterali (în dB/ octava sau dB/Decada cu scãrile de reprezentare de mai jos) Considerând ferestruirea unui semnal eºantionat µ § µ §, putem, asociativ, cã considerãm prelucrarea în asamblu ca produs, sã considerãm prelucrarea în ansamblu ca produs al x(t) cu fereastrã eºantionatã: µ § ºi deci spectrul semnalului eºantionat ºi ferestruit este: µ §
µ §
(„nucleul Dirichlet” care va fi evidenþiat ºi în calculul spectral al celorlalte ferestre) Pe lângã ferestra dreptunghiulare (Dirichlet) amintim, fãrã sã detaliem, o altã fereastrã simplã, fereastra triunghiularã (Bartlett), de tip rampã descrescãtoare utilizatã ºi ea în analizele nepretenþioase (ale proceselor (semnalelor) liniare) b) Ferestrele în µ §(µ §natural, usual ãntre 1 ºi 4) Au avantajul unei generãri simple ºi al unei identificãri proprietarilor transformaþiei funcþiilor cosinus. µ §
(deci fereastra Dirichlet e cazul particular pt. a=0) [un semnal înrudit, utilizat pentru aproximarea impulsurilor, este “cosinus ridicat”, egal cu µ § pentru µ §ºi 0 în rest] Pe lângã fereastra µ § , mai importante sunt: b1) Fereastra Hanning (cosinus pãtrat) ¨C pt. a=2 µ § µ §
µ §- se numesc nuclee translatate, localizate în primele zerouri ale nucleului central ºi în opoziþie de faza cu lobii laterali ºi acestuia µ § anularea parþialã a lobilor laterali ºi se foloseºte principiul ferestrelor µ § b1 ‘) Fereastra Hamming - derivate din fereastra Hanning pe principiul anulãrii parþiale a lobilor laterali µ §
(fereastra Hanning e caz particular al ferestrei Hamming pt. µ §) µ §
µ §
Principal, 1-ul lob lateral care poate fi anulat e centrat în jurul lui µ §[ºi nu la µ §care rãmane în lobul principal laþit (acestã lãþire e dezavantajul complementar avantajului dat de netezirea spectrului ferestrei)]. Aºa se ilustreazã mai jos, maximele celor douã spectre laterale sinc adãugate la dreapta ºi la stânga nucleului central sinc Dirichet, compenseazã cu primul ºi, respectiv, cel de-al doilea minim local, maximul local principal de la µ §, anulând astfel µ §la aceastã pulsaþie. Se obþine profilul spectral scontat, netezit, dar cu o lãþime a lobului central. Considerând, aproximativ, ca extremele locale alea celor trei funcþii sinc sunt la µ §, ecuaþia de compensare este µ § Astfel ca fereastra Hamming propriu-zisã e µ § Faþã de fereastra Dirichlet, îmrautãþirea b (deºi lobul central se lãþeºte practic cu mai puþin de µ § faþã de fereastra Dirichlet cãci b e raportat la 1-ul lob lateral care scade semnificativ) e însoþitã de o importanþã (de peste 30 de ori) a atenuãrii lobilor laterali. c) Fereastra Blackman µ §
µ § Ferestrele Blackman reprezintã deci generalizãri ale celor prezentate pânã acum: Dirichlet: µ § µ §
Hamming: µ § µ § (pt. Fereastra propriu zisã, µ § În general µ §se calculeazã pentru anularea parþialã a lobilor laterali. Pentrua realize un lob principal îngust, numãrul coeficienþilor µ §nenuli trebuie sã fie cât mai mic. Atfel, cu primii 3 coefienþi nenuli, anulând spectrul în centrele primilor 3 lobi laterali, la µ § ºi µ §, se obþine aproximativ.: µ § (întrucât 0,42-0.5+0.08=0, la limita de prelungire periodicã, fereastra Blackman aproximativã e nulã). În acest context, deasemenea cu o caracteristicã de tip clopot, amintim ºi: d) Fereastra Gauss: µ §(f(t, deci ºi F(w) sunt “clopote” Gauss)) µ § Pt. µ § ºi w mic, se aproximeazã: µ §µ § Pentru r=3,5, µ § ºi d=6 dB/octava. e) Ferestre adaptate la domeniul semnalelor de analizat e1) Ferestre Tseng ¨C se determinã prin impunerea unor condiþii de lãþime a lobului principal ºi înãlþime a lobilor laterali, eventual cu frecvenþe impuse de anulare, (care permit, de exemplu, o rezoluþie sporitã în vecinãtatea imediatã a liniilor spectrale principale ale semnalului x(t) de analizat), spectrul ferestrei fiind deci încadrat într-un gabarit de tip”filtru trece jos” ºi sintetizat pe tipicul teoriei electrice, cu polinoame Cebîºev. Fereastra temporalã se determinã de aici prin transformarea Fourier inversã.
Se face scarii de frecvenþã la înmulþind frecvenþa normatã (la µ §) a periodogramei, NFREQ, cu durata ferestrei (normata la µ §), obþinându-se frecvenþele F. Pentru determinarea µ § ºi b se recomandã utilizarea unor ferestre scurte, astfel ca spectrul calculate, între 0 Propunem µ §, mai convenabil d.p.d.v al criteriului Nyquist. Pentru determinarea µ §ºi d se recomandã utilizarea unor ferestre cu spectrul calculate mult peste limita F=64, întrucât zona frecvenþelor extreme, µ §,µ §e afectatã de alierea la capãtul benzii eºantionare ºi periodizare în vederea analizei TFD(TFR). Se recomandã deci µ §. Propunem µ §
Pentru calculul d, se poate trece, deºi nu e obligatoriu, la reprezentare logaritmicã ºi pe scarã frecvenºelor, pe calea DATE / NELINIAR/ LOG [reprezenatarea e utilã ºi pentru a vedea asimptota (-anvelopa) liniarã la frecvenþe mari]. Pentru a evita saturarea la -100 dB pe curba d.s.p introdusã de program, pentru determinarea d se recomandã o înmulþire cu 1000 a ferestrei (cel puþin pentru Blackman ºi Hanning), înaintea calcului periodogramei:
([DATE/ ARITMETICA/ MULTIPLICARE/ CONSTANÞA<..1000 ..>]) În lipsa unor cursoare de trasaj parallel cu axele, determinãrile pe graphic se pot face ºi prin opþiunile (GRAFICE/ OPTIUNI /) X,Y; min,max alese pe coordonata reprezentativã pentru µ §sau, încadrând (dupã o pre-vizualizare cu opþiunile “Auto”) punctele de interes în fiºii convenabil delimitate, tinând cont ca grila are 5 x 5 linii (ex. pentru a mãsura d.s.p. de -32, 5 dB la F=2,1 poate fi
convenabilã Y min. = -35, Y max. = -30 ºi X min. = 2 X max. = 2,5 etc. )
Pentru determinarea lui d, se recomandã incadrarea între µ § min. 45 ºi µ § X max. = 90 (deci o octavã, în al cãrei centru geometric se aflã µ § ).
- DATE/ GENERARE/ FEREATRÃ/ - SPECTRU/ PERIODOGRAMA .. * Se completeazã tabelul * Se genereazã un semnal “xma” cu modulaþie de amplitudine, bandã lateralã + purtãtoare (MA BLD+P), - de lungime µ §, (N=512)
- cu purtãtoare cosinusoidalã, “xp”, 25 perioade/secvenþe: - observaþie: alegând un semnal cu (anti - ) simetrie faþã de N/2, spectrul aproximat e simetric , ca ºi cel al semnalului ne-aproximat
Parametrul µ § ºi se numeste pulsaþia normatã: µ §
observaþie: pentru a respecta condiþia Nyquist, trebuie ca F<0,5, deci [DATE/GENERARE/ COS - cu semnal modulator, “xm”, 2 perioade/ secvanþa: µ §[generat analog cu “xp”] - cu indice de modulaþie m=0,4 [“xm” se prelucreazã prin: - înmulþire cu 0,4: DATE/ ARITMETICÃ/ MULTIPLICARE/ CONSTANÞÃ - sumare cu 1: DATE/ ARITMETICÃ/ ADUNARE/ CONSTNAÞÃ - “xma” se obþine prin produsul “xp” cu “xm”: [DATE/ ARITEMETICÃ/ MULTIPLICARE/ SECVENÞÃ [SPECTRU/ PERIODOGRAMA (scara liniarã pt. d.s.p.:)1, XDXMA (respective XAXMA)]
- dezavantajul ferestrei Hanning: - pierderea rezoluþiei spectrale cu lãþimea zonei spectrale din jurul frecvenþei ourtãtoare pânã la inglobarea celor douã benzi laterale, ºi - avantajul ferestrei Dirichlet (rezoluþia) (pentru aceasta se poate comuta între trasarea continuã ºi discretã a pectrului, cu GRAFICE/ OPÞIUNI/ C (respective D),.. (e sufiecient pt. comutare sã tastaþi * Se verificã pe spectrul d.sp. discret XDXMA, ca cele douã linii spectrale laterale au înãlþimea aproximativã µ §
(m/2 în spectrul Fourier ) relative la purtãtoare Observaþie: Cu acest exemplu nu se poate observa celãlat aspect, al metezimii spectrului [fãrã prezenþa unor ripluri care indicã compenente spectrale false (deºi, la spectrele “netede” obþinute cu celelalte ferestre, lãþimea zonelor spectrale înseamnã tot componente spectrale false)], care, în mod dual, face ca fereastra Hanning sã fie mai avantajoasã, asa cum se poate vedea din studiul comparative urmãtor. Pentru a preveni astfel de pierderi de rezoluþie, e indicatã, pe de-o parte ridicarea curbei logaritmice a d.s.p ºi , pe de-altã parte, prelungirea observaþiei asupra semnalului analizat (spectrul propriu va intra în convoluþie cu spectrul mai îngust al unei ferestre de durata mare, al cãrui lob principal e mai îngust decât pasul rezoluþiei spectrale cerute) * Se dubleazã lungimea secvenþei “xma”: [DATE/ EDITARE/ ADÃUGARE Studiu comparativ al ferestrelor * Se genereazã o secvenþã “CC” de lungime N=256, cu spectrul cu 2 linii egale la F=0 ºi F=5/256=0,1953125: µ § cu µ §0,122718463 (5 perioade/secvenþa): [DATE/ GENERARE/COS DATE/ ARITMETICÃ/ ADUNARE/ CONSTANÞÃ a) rezoluþie, b)1-ul riplu c) lãþirea zonelor spectrale Verificãri de consistenþa TFR ¨C periodograme d.s.p * Se genereazã o secvenþã dreptunghiularã “DREP” de lungime N=32 (duratã relative scurtã µ §)spectru relative larg, mai uºor de observat) : [DATE/ GENERARE/ FEREASTRÃ/ RECTANGULARÃ * Se calculeazã “XDREP”, periodograma d.s.p a lui DREP, cu scara liniarã (tip 1): [SPECTRU/ PERIODOGRAMA * Se calculeazã “RXDREP”, radical din XDREP, pentru a obþine, conform teoremei Wiener-Hincin, estimatul modului spectrului: [DATE/ NELINIAR/ RADICAL * Se prelungeºte DREP, la N=512 eºantioane, cu secvenþa de (512-32=)480 eºatioane 0 (pentru a obþine o secvenþã TFR de 512 eºantioane, din care 1-a jumãtate, având exact 256 eºantioanem cât lungimea fixã a perodogramelor, sã poatã fi comparatã cu RXDREP): [DATE/ PROCSARE/ ADÃUGARE/ 0 observaþie: spectrul TFR sau d.s.p. a unui semnal ( inerent de tip impuls generalizat ¨C cu support finit ¨C în contextual acestui set de prohrame) nu se modificã prin prelungirea lui la stânga sau la dreapta cu secvenþe 0, întrucât ferestruirea se face cu aceeaºi funcþie de lãþime N=256 (spectrul exact e aproximat prin convoluþie cu un acelaºi spectru al ferestrei). * Se calculeazã “FDREP”, TFR a lui “DREP”: [ DATE/ TRANSFORMARE/ TFR [DATE/ EDITARE/ COPIERE/ * Se recomandã normarea aproximativã (nu exact cãci apare suprapunerea curbelor) a MFDREP ºi RXDREP la valorile lor maxime, pentru o mai uºoarã comparaþie, ºi apoi reprezentarea lor pe acelaºi grafic: [GRAFICE/ VARIABILE < MFDREP, RXDREP>] 5)Procesarea semnalelor Procesarea semnalelor e tratatã de programul PCDSP drept convoluþie cu o secvenþã oarecare ce poate fi asimilatã ºi cu funcþia pondere temporalã (rãspunsul la impulsul unitate) a unui filtru digital. * Se încarcã de pe disc fiºierul HTLB ºi se vizualizeazã secvenþa HTLB care conþine funcþia pondere temporalã (rãspunsul la impulsul unitate) a unui transformator Hilbert digital de ordin 63 (obþinut ca filtru RFI, cu secºiunea FILTRE a setului de programare PCDSP, care va fi aprofundatã în urmãtoarele lucrãri de laborator). Formula analiticã a funcþiei pondere, pe baza cãreia secvenþa HTLB se poate obþine ºi direct, dar mai laborios, este: µ §v. paragrafele 3.9 (ºi 2.15) din curs, generatã în HTLB prin translare pentru centrare pe n=31 (în vederea acestei centrãri s-a ales µ §impar). Reamintim cã, la observaþii / achiziþii / procesãri pe secvenþe de N eºantioane, se recurge adesea la centrarea temporalã convenþionalã pe N/2 pentru a putea trata ºi aspecte de paritate sau cauzalitate în domeniul temporal. Dual, în TFR (ºi în periodogramele d.s.p. de 512 linii, calculate (doar) pentru secvenþe complexe ), în a doua jumãtate a secvenþei se gãseºte, translatã cu N poziþii la dreapta, zona spectralã a frecvenþelor negative. * Se genereazã secvenþa cosinusoidalã COS1 cu (w cos = ) µ §, având 7 periode ºi 200 eºantioane (nr. impar de perioade ºi 199 în loc de 200 la numitorul lui B ¨C pentru simetrie perfectã, cu axa centralã la (n)=întrucât n=0,...,,199): [DATE/ GENERARE/COS * Se calculeazã ºi se vizualizeazã transformata Hilbert a lui COS1, prin trecerea secvenþei COS1 prin filtrul digital RFI ¨C transformator Hlbert (posibilã ºi în modul filtru / procesare) realizatã prin convoluþia COS1HTLB=COS1*HTLB: [DATE/ PROCESARE/ CONVOLUÞIE Se observã cã µ §
[DATE/ EDITARE/ COPIERE * Se reprezintã, pe acelaºi graphic, COS1HTLB ºi COS1, observând defazarea µ §introdusã de transformatorul Hilbert [GRAFICE/ VARIABILE Nr.liniei spectraleFSSSSSFSSSSHRealImaginarFazorRealImaginarFazor303132 * Se revine la procesarea propriu-zisã, calculându-sesemnalul asamblat BLU, ca secvenþa SSSBLU având ca parte realã SSSS ºi parte imaginarã SSSPHILB: [DATE/ EDITARE/ COMPLEX < SSSBLU, SSS, SSSPHILB>]
Dacã setul de programe PCDSP ar fi implementat ºi convoluþia ciclicã de ordin N, ar fi fost legãturã intuitivã dintre secvenþa de intrare, tip cos, cu perioada N li ieºirea prin funcþia pondere tip ctg a transformatorului Hilbert. 5.2 Procesarea digitalã BLU Prezentãm un “studiu de caz al procesãrii digitale BLU a unui semnal BLD prin metoda defazãrii cu transformator Hilbert.” Cele douã BL sunt benzile spectrului de bazã, cea de la frecvenþe positive [care va rãmâne în aceeaºi poziþie în spectrul BLU dar cu valoare dublatã (având deci aceeaºi energie cu semnalul BLD iniþial)] ºi cea de la frecvenþe negative (care va dispune din spectrul BLU ). A nu se confunda acestã procesare cu MA-BLU în care poate fi însã inclusã ca bazã de implementare, pentr obþinerea semnalelor MA-BLU ºi a multiplexãrilor aferente cu diviziune în frecvenþã cu utilizare de douã ori mai eficientã în telecomunicaþii a spþiului de frecvenþe alocat decât la MA simplã.
Pentru a obþine BL net conturate recurgem la o micã deplasare din zona F=0 prin multiplicare în timp cu o secvenþã conisuidalã, deci o “MA de produs” auxiliarã, care trebuie confundatã, aºa cum am arãtat, cu MA cu purtãtoare de înaltã frecvenþã pentru telecomunicaþii. Pentru a obþine BL aproximativ dreptunghiulare, semnalul temporal “modulator”, de bazã, e de tip sinus cardinal cu pulsaþia normatã µ § de lungime N=200, constituit dintr-o secvenþã SINC (dintr-o secvenþã SIN de 99 eºantioane, (iniþial de 100 eºantioane dar, cu eliminarea primului prin editare/ copiere a eºantioanelor 1-99) împãrþitã la o secvenþã RAMPA de 99 eºatioane [începând de la valoarea 1(pentru a evita o împãrþiere ulterioarã la 0 în constituirea SINC) cu increment 1], împãrþirea fãcându-se indirect prin inversarea valorilor rampei în modul nelinear/ reciproc ºi apoi prin înmulþire cu SIN. Completãm SINC cu 1-ul eºantion; de valoare 1, (constituim o secvenþã UNU (cu 1 eºantion de valoare 1) de tip impuls, la care sã adugãm, în modul editare/ adãugare,secvenþa SINC. Pentru o perfectã simetrie, generãm secvenþa CNIS, simetricã (ºi în denumire) cu SINC, prin editare/basculare, ºi apoi secvenþa globalã SSS prin con-cantenare CNIS ºi SINC, prin editare/adãugare. Purtãtoarea COS e cosinusoidalã cu (µ § având 31 de perioade ºi 200 eºantioane (nr.impar de perioade 199 în loc de 200 la numitorul lui B- pentru simetrie perfectã, cu axa centralã la (n)=99,5)-întrucât ) n=(0,¡K,199) Simulãm MA de produs, obþinând SSSP prin înmulþirea secvenþa a SSS ºi COS.} * Se viyualizeazã periodograma BLD al lui SSSP, conþinutã în secvenþa XSSSPC, din fiºierul XSSSPC_.DSP care încarcã de pe disc. {Detalii despre modul în care s-a obþinut XSSSPC: Pentru secvenþe reale, având deci periodograma d.s.p parã (penru proprietãþile de paritate vezi aplicaþia 2.1, pag.45-curs), programul PCDSP nu afiºeazã decât una din cele 2 BL ale d.s.p., în zona F=0....0,5. Pentru afiºare a ambelor BL (similarã cu afiºarea modulului TFR- vezi verificãrile de consistenþã de mai sus), a trebuit ca secvenþa sã fie fãcutã, formal, complexã prin adãugarea 0,001*j, valoare micã, ce nu modificã spectrul, la fiecare eºantion al SSSP (s-a constituit, în prealabil secvenþa IMAG200, de tip fereastrã dreptunghiularã cu înãlþimea micºoratã prin înmulþire cu 0.001 ºi , apoi, secvenþa formalã SSSPCPLX, în modul editare/complex, cu secvenþa SSSP cu partea realã ºi secvenþa IMAG200 ca parte imeginarã ). XSSSPC este deci periodograma lui SSSPCPLX, reprezentare aproximativã d.s.p. ¨C BLD a lui SSSP} * Se calculeazã transformata Hilbert a lui SSSP, prin trecerea secvenþei SSSP prin filtrul digital RFI ¨C transformata Hilbert (posibilã ºi ãn modul filtru / procesare) realizatã prin convoluþia SSSPHTLB=SSSP*HTLB: [DATE/ PROCESARE/ CONVOLUÞIE/ Se observã cã µ § * Se încarcã de pe disc fiºerul SSSS_.DSP, ºi se vizualizeazã secvenþa SSSS care reprezintã modificarea SSSP pentru procesarea ulterioarã BLU, prin prelungirea la aceeaºi lungime cu SSSPHTLB, pãstrându-l însã centrat , deci prin adãugare a câte 31 eºantioane 0 la stanga ºi la dreapta (modul procesare/ -transalaþie ºi ¨C adãugare 0). * Se încarcã de pe disc fiºierele SSSS_.DSP ºi SSSSHTLB. DSP ce conþin trunchierea simetricã a secvenþelor SSSS, cu câte 3 eºantioane, la sânga ºi la dreapta (realizatã în modul editare/ copiere) pentru la lungimea 256(putere alui 2), în vederea TFR. * Se calculeazã secvenþele FSSSSS ºi FSSSSH ce reprezintã TFR a secventelor SSSS ºi transformatei sale Hilbert, SSSSHTLB. [DATE/ TRANSFORMARE/ TFR] * Se verificã faptul cã transformatorul Hilbert digital e un defazor µ § de bandã largã (verificarea anterioarã a defazorului s-a fãcut doar pentru o singurã armonicã, listând pe ecran FSSSSS ºi FSSSSH, [SISTEM/ TIPÃRIRE Exerciþii ¨C Se propun ca exerciþii dezvoltarea unor exemple care sã prezinte ºi alte aspecte calitative ale analizei temporale ºi spectrale a semnalelor, de exemplu: - Discontinuitate în semnal (/sau într-o derivatã de-a lui) Prezenþa µ § în derivatã (/ de ordin superior) Spectru infinit
µ §spectru/ semnal neted (derivate mici) [la limita, µ §] Simularea cu PCDSP a unui semnal MF Interpolarea a douã secvenþe (intreteserea esanºioanelor) Evidenºierea alierii spectrale la sub ¨C eºantionare, etc. Yüklə 77,73 Kb. Dostları ilə paylaş:
|