Аникмас интеграл

Jism hajmini hisoblash


y=f(x) chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning OX o’qi atrofida aylanishidan hosil bo’lgan jismni qaraylik. Bu esa OX o’qiga perpendikulyar x absissali kesim doiradan iborat bo’lib, uning radiusi y=f(x) ordinataga mos keladi.

1. 
   OX o’qi atrofida aylanayotgan jismning hajmini topish formulasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi.
   

(1)

b) OY o’qi atrofida aylanayotgan jismning hajmini topish formulasi esa
(2)
bo’ladi.

Misol : y=4x; y=0 va x=4 chiziqlar bilan chegaralangan yuzaning OX o’qi atrofida aylanishidan hosil bo’lgan jismning hajmini toping.

Yechish :
Aylanish jismi- paraboloiddir.
Integrallash chegaralari a=0, b=4 .
(1) formula bo’yicha jismning hajmini hisoblaymiz.


(kub.birlik)

2-Misol . x-2y+6=0 y=0 va x=2 chiziqlar bilan chegaralangan yuzaning OX o’qi atrofida aylanishdan hosil bo’lgan jismning hajmini toping.

Yechish : x-2y+6=0 y=

Berilgan x-2y+6=0 to’g’ri chiziq OX o’qni (-6; 0) nuqtada kesib o’tadi.
Demak,



Chegarasi cheksiz xosmas integrallar

Berilgan kesmada uzluksiz funksiyalarning integrali mavjud degan edik. Endi bu shartlarni qanoatlantirmaydigan integrallar ham bo’lar ekan. Bunday integrallarni xosmas integrallar deymiz.

Biz quyida chegarasi cheksiz bo’lgan xosmas integrallarni ko’rib chiqamiz.
Ta`rif: Yarim [a,+) intervalda uzluksiz bo’lgan funksiyaning xosmas integrali quyidagicha belgilanadi.

va ushbu tenglik bilan aniqlanadi:
(1)
Agar (1) formuladagi limit mavjud bo’lsa, u holda xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi.
Agarda limit mavjud bo’lmasa, u holda xosmas integral uzoqlashuvchi deb ataladi.
Agar f(x) funksiya butun sonlar o’qida uzluksiz bo’lsa, u holda umumlashgan xosmas integral quyidagi formula bilan aniqlanadi.
(2)
bu yerda S - ixtiyoriy tayinlangan son.
Agar (2) formulada o’ng tomonda turgan ikkala integral yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda chap tomondagi xosmas integral ham yaqinlashuvchi bo’ladi.
1-Misol:

Demak, integral uzoqlashuvchi ekan.