Aqronomiya və ekologiYA

Azərbaycan Dövlət Aqrar Universiteti

Texniki fizikanın, elektrotexnika və radiotexnikanın, eləcə də avtomatik tənzimləmə nəzəriyyəsinin müxtəlif məsələlərinin həllində Furye sırasının, Furye inteqralı və çevirməsinin rolu əlverişli bir vasitə kimi çox mühümdür [1].

Bir sıra elektrotexnika məsələlərinin asanlıqla və əlverişli sürətdə həll edilə bilməsi, elektrik dövrələrinin statik və dinamik – keçid proseslərinin təhlil edilməsi üçün Furye sırasının və Furye inteqralının tətbiq edilməsi zəruriyyət kəsb edir.

Furye metodu və operator hesablanması tətbiq edilən bir sıra elektrotexnika məsələləri nəzərdən keçirilir.

Hələ Hevisayd operator hesablanmasını təklif etdiyi zaman göstərmişdir ki, Furye metodundan çox yerdə bir riyazi nəzəriyyə kimi istifadə edilə bilər.

Göstərmək olar ki, istənilən şəkildə verilmiş periodik əyrini vahid pilləsi funksiyaların kombinasiyaları ilə ifadə etmək olar.

Əvvəlcə, periodik funksiyanı operator metodundan istifadə edərək araşdıraq. Tutaq ki, zamandan asılı periodik funksiyadır. Bu funksiyanı Teylor sırası ilə əvəz etsək:

(1)
Buradan sıranın qalıq üzvi üçün belə ifadə yazıla bilər:
(2)
Beləliklə, yaza bilərik:


Oxşar şəkildə göstərmək olar ki,

(4)

Eksponensial şəkildə yazılmış ifadə bir sıra riyazi əməliyyatı sadələşdirir və müxtəlif ifadələrin icra edilməsi üçün çox əlverişli olur.

Məlum olduğu kimi, düzbucaqlı funksiya almaq üçün Hevisayd vahid funksiyasından istifadə etmək olar. Müxtəlif işarəli iki vahid pilləsi funksiyanı cəbri cəmləmək istədiyimiz amplitudu və eni olan düzbucaqlı funksiya ala bilərik. Bundan ötrü vahid funksiyaları müvafiq əmsala vurub, funksiyaları 0 nöqtəsinə nisbətən zaman oxu üzərində müvafiq yerdə seçmək kifayətdir.

Yuxarıda qeyd etdiyimiz mülahizələri nəzərə alsaq, deyə bilərik ki, verilmiş hər cür əyrisini xırda zolaqlara bölüb təxminən həmin funksiyanı aşağıdakı sıra ilə ifadə edə bilərik, yəni:

burada -lar zolağın başlanğıc və qurtaracaq zaman koordinatıdır.

Əgər bu sonsuz sıranı cəmləsək, verilmiş əyrinin ifadəsini alarıq. Başqa sözlə desək, yaza bilərik:

(6)

Zolaqların enini nə qədər kiçiltsək, bir o qədər aldığımız ifadəni dəqiqləşdirə bilərik. Nəticədə zaman fasiləsini hədsiz kiçik gətürsək, aldığımız cəmləmə inteqral şəklinə çevrilər, yəni:

(7)

Əgər -ni bir parametr kimi qəbul etsək, yaza bilərik:

(8)

Bu da, bəlli olduğu kimi, Karson inteqralıdır. Gələcəkdə bir sıra məsələlərin həllində bu ifadədən istifadə [1] etmək olar.
-gərginlikli periodik -yə bərabər olan düzbucaq

təkanlı dalğanın Furye sırası şəklində ayrılışı

Operator üsulundan istifadə edərək elektrotexnikada təsadüf edən bir məsələni araşdıraq. Tutaq ki, dövrəyə tətbiq olunan gərginlik düzbucaq təkanlı dalğadır və periodu -yə, amplitudu isə -ya bərabərdir. Belə funksiyanın nə şəkildə Furye sırasına təfriq olduğunu tapaq. [3], [4].

Təkanlı düzbucaqlı üçün yaza bilərik:

Verilmiş funksiya üçün Karson inteqralını belə ifadə edə bilərik:

Düzbucaqlı dalğa hər perioddan, yəni -dən sonra təkrar olunur, odur ki, yaza bilərik.

(10)

Burada ayırma teoremini tətbiq etsək, verilmiş əyrinin Furye sırası ilə ifadəsini tapa bilərik. Bizim misal üçün qəbul edirik:

; ;

Burada kökləri və üçün ayırma teoremini tətbiq edək:

;

və

(11)

Beləliklə, ümumi şəkildə funksiyanın ifadəsi aşağıdakı şəkildə yazıla bilər:
(12)

ƏDƏBİYYAT

1. 
   Vəkilov Ş.İ. Riyazi analiz (Furye sıraları). Bakı, APİ-nin nəşri, 1979, 112 səh.
   
2. 
   Андре Анго. Математика для электро и радиоинженеров, М.: Физматгиз., 1965, 234 cтр.
   
3. 
   3.Смирнов В.И, Курс высшей математики, Ι. ΙΙ. М.: Физматгиз, 1950, 653 стр.
   
4. 
   Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления,
   
5. 
   Ι. ΙΙ. М.: Наука, 1970, 800 стр., Ι .ΙΙΙ. М.: Наука, 1970, 656 стр.
   

УДК 621.3.014.2
Исследование периодической функции методом оператора
К.т.н. Р.А.Ибрагимов, к.т.н. Д.В.Багирли

Азербайджанский Государственный Аграрный Университет
РЕЗЮМЕ

В статье указана исследование c использованием метода оператора периодической функции.

The investigation of operator methods of periodic function
C.t.s. R.A.Ibrahimov, c.t.s. D.V.Bagirli

Azerbaijan State Agrarian University

SUMMARY

In clause {article} it is specified research with use of a method of the operator of periodic function.

УДК 621.315.592
РОЛЬ ДЕФЕКТОВ НА ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ХАЛКОГЕНИДОВ СЕРЕБРА ПРИ ФАЗОВОМ ПЕРЕХОДЕ
Кандидат физик-математических наук М. Б. Джафаров

Азербайджанский Государственный Аграрный Университет

Исследованы температурные зависимости электропроводности (Т) и коэффициента Холла R(T) в Ag₂S в области фазового перехода. Обнаружены количественныe несогласия в изменениях (Т) и R(T) при фазовом переходе, т. е.  увеличивается на несколько порядков, а R уменьшается в 3÷4 раза. Данный факт интерпретирован в рамках модели с двумя типами носителей заряда с учетом изменения зонных параметров и дефектов образующихся при фазовом переходе.

Одним из основных признаков соединений (X- Te, Se, S) является собственная дефектность, обусловливающая отклонения от стехиометрии и изменяющая энергетические и кинетические параметры носителей заряда. Неполное заполнение тетраэдрических и октаэдрических пустот приводит к кристаллизации соединений в решетках собственного дефектов. Наличие же вакансий в подрешетке Ag⁺ влияет на механизм электро- и теплопереноса 1. С ростом температуры увеличивается число таких дефектов и при определенной температуре происходят структурные фазовые переходы (ФП). При этом скачкообразно изменяются электрофизические свойства. Одним из соединений является Ag₂S.

В работе 2 показано, что в Ag₂S при ФП  увеличивается на несколько порядков, а R уменьшается в 3÷4 раза (рис.1). Выявление количественного несогласия изменений R и  требует проведения комплексных расчетов с учетом возможных механизмов процесса с выяснением зонных параметров носителей заряда и роли дефектов, образующихся при ФП.

В качестве первого шага для выявления причины данного факта проведены расчеты в рамках двухзонной модели со сферическими и несферическими изоэнергетическими поверхностями. Выражения для  и R в области ФП можно представить в следующим виде, где n и p концентрация электронов и дырок, U_n и U_p их подвижности соответственно.

(1)

Расчеты проведены следующим образом:

1)Предлагается изменение n и p за счет изменения зонных параметров при ФП. В работе 3 показано, что в -Ag₂S обе зоны стандартные, а в 2 показано, что в -Ag₂S зона проводимости нестандартная. Тогда выражение концентрации носителей заряда для стандартной и нестандартной зоны имеет вид 4

(2)

где m_n и m_p –эффективные массы электронов и дырок, и - одно и двухпараметрические интегралы Ферми, - параметр характеризующий нестандартность зоны, - ширина запрещенной зоны, - приведенный химический потенциал,  - химический потенциал. Учитывая значение

[5],
m_n=0.45m₀; m_p=0.70m₀ [6],

(пренебрегая малым отклонением) до температуры ФП (Т₀~435К), а после ФП , m_n=0.21m₀ [2]. С учетам выше сказанного рассчитаны n и p в (2). U_n и U_p взяты из работы [6], где предполагается, что их уменьшение до ФП происходит по закону U_n, U_p~T^-1 , а после ФП значение U_n рассчитано как ( за счет большого значения m_p, значение U_p изменяется не значительно). Таким образом) рассчитаны  и R (рис. 1.1, 2.1).

Как видно расчетные значения (T) проходит ниже, а R(T) выше экспериментальных кривых (T) и R(T) соответственно. Поэтому учет изменения зонных параметров без привлечения других механизмов не может объяснить изменение (T) и R(T) при ФП.

Для преодоления этой трудности нами было учтено также и влияние дефектов, возникающих при ФП на (T) и R(T).

2) В настоящее время применительно к соединениям ( A- Ag, Cu) существуют две модели образования возможных дефектов – модели Рая [7] и Вейсса [8], в каждой из которых выделяются доминирующие типы дефектов, обусловливающие отклонение от стехиометрии. В первой модели предполагается, что образование дефекта идет в двух стадиях: скачком образуется нейтральная вакансия металла, затем происходит ионизация этой вакансии металла, в результате чего образуется дырка. Во второй модели возможно внедрение атомов в междоузлия. По модели Рая и Вейса образования вакансий Cu в соединениях и последующая их ионизация всегда приводят к p-типу проводимости.

Анализ природы дефектов [9] в соединениях показывает, что в отличие от в них междоузельные атомы Ag обеспечивают n-тип проводимости. Поэтому данные экспериментальные результаты дают основание считать, что в Ag₂S  переход сопровождается смещением атомов Ag в междоузлия, играющие роль мелких донорных центров, что и приводит к соответствующим изменениям электронных явлений. Дефекты в возникают по распределению Френкеля 9, т. е. дефектами в Ag₂S будут полностью ионизированные атомы и их вакансии (V_Ag).

Рай 10 предполагает, что преобладающими дефектами в являются междоузельные атомы Ag_i , нейтральные вакансии серы V_S и введенные на месте атомов серебра серы S_Ag. С квазихимическими реакциями данные дефекты возникают с следующим образом 10

; ;

По этой модели полная концентрация дефектов

(3)

Как отмечалось выше, при ФП в подрешетке атомов Ag происходит термически активированный акт элементарного скачка из узла в междоузлие, приводящего образованию дефекта по Френкелю

(4),

где N₀ - концентрация атомов Ag в 1см³ кристалла, ₀ (0.45 eV 9 )-энергия дефектообразования, множитель B для Ag₂S колеблется в пределах ~25 [9].

Применение закона действующих масс приводит к следующему выражению [10]

(5),
Закон действующих масс для ионизации нейтральной вакансии имеет вид
(6)

где E₁ – энергия образования нейтральной вакансии, E₂– энергия ионизации вакансии серебра, K₁ и K₂ – множители, [9], E₂=0.43eV [11], K₁ и K₂ определены по [10].

Следовательно полная концентрация дефектов определяется как, а концентрация свободных дырок .

(7),

Учитывая значение и , по (1) и (2) рассчитаны (T) и R(T) (рис.1.2, 2.2). Как видно, и такой подход также не объясняется температурный ход  и R. Из рис.1 видно, что в области ФП расчетные кривые (T) не только количественно, но и качественно не согласуются с экспериментальными значениями (T), т. е. максимумы расчетные (T) проявляются нечетко. Выходом из создавшейся ситуации может является следующее предположение.

3) Раз скорость ФП , (где L- функция включения) проходит через максимум (это характерно для ФП I рода) [12, 13], тогда можно принять, что все энергии ( _g, E₁, E₂) проходят через минимумы (рис.3). Учитывая сумму расчетных значений концентрации носителей заряда (за счет зонных параметров и дефектов) и с учетом выше предложенного, по (1) построены кривые (T) и R(T) (рис. 1.3 2.3). Как видно, в этом случае расчетные и экспериментальные (T) и R(T) качественно отличаются значительно.

Анализ результатов

Количественное несогласие экспериментальных и теоретических кривых может быть вызвано следующими причинами

1. 
   Зонные параметры (m_n, m_p, _g) с помощью которых вычислялись n и p, могли быть определены не точно,
   
2. 
   Возможно предположение, что носители заряда дополнительно рассеиваются на дефектах, возникающих при ФП, концентрация которых зависит от температуры,
   
3. 
   Возможно, все вакансии и междоузельные атомы Ag не ионизированы, т. е. часть из них ведут себя нейтральные примеси и. т. д.
   

Известно, что ФП типа порядок-беспорядок, к числу которых относятся переходы в кристаллах Ag₂S, сопровождаются скачкообразным изменением отношения разупорядочивщихся катионов к числу междоузлий, что приводит к резкому росту дефектов-вакансий в узлах (V_Ag) и ионов () в междоузлиях. Они могут проявлять себя, как электроактивные, так и нейтральные примеси. Нейтральные дефекты могут оказать влияние на (T) и R(T) как рассеивающие центры, а электроактивные могут быть существенно изменить плотность состояний электронного газа 2]. В этом случае чего сильно изменяются (T) и R(T) при ФП. Отсюда следует, что скачкообразные изменения (T) и R(T) в Ag₂S при ФП обусловлены не только изменениями их зонных параметров, но и концентрациями электроактивных и нейтральных дефектов. Сильное изменение (T) при ФП также связано с параметром упорядочения  14. Известно, что  зависит от концентрации электроактивных примесей и отклонением от стехиометрии, указывающие на дополнительное разупорядочение системы фаз в области ФП. В случае Ag₂S атомы Ag не жестко закреплень на своих местах, благодаря чему реализуется при резком охлаждении кристалла выше температуры ФП происходит дополнительное образование дефектов. В этих условиях V_Ag и V_S успевают прийти к тепловому равновесию, и их термодинамический потенциал усредняется с учетом хаотичного расположения V_Ag и V_S.Здесь особое внимание удаляется минимуму энергии в области ФП. Это может быть связано с тем, что, для ФП основную роль играет изменение внутренней энергии кристалла, которая является суммой всех энергии, заключенных в структуре, т. е., здесь может присутствовать энергия различных связей между атомами,, химические связи и др. Если пренебречь другими членами внутренний энергии, то главной изменяющейся частью будет энергия химическох связей между атомами[11]. Как известно [15] , когда две структуры отличаются настолько сильно, что нельзя перейти от одной к другой без разрыва первоначально имевшихся химический связей. В случае чего можно ожидать, что все энергии ( _g, E₁, E₂) должны проходит через минимум.

В работе 16 установлено, что в низкотемпературной моноклинной фаза -Ag₂S пространственная группа соответствует , где связь преимущественно ковалентная 17. Высокотемпературная модификация -Ag₂S имеет ОЦК и пространственная группа соответствует F3 18, а химические связи соответствует ковалентно-ионным 17, т. е. симметрии и химические связи - и - фазы сильно отличаются. С учетом выше сказанной 15, можно предполагать, что  переход в Ag₂S сопровождается прохождением энергии через минимумы с температурой в области ФП.

Уменьшение (T) после ФП может быть связано с сильным уменьшением подвижности носителей заряда с температурой за счет рассеяния носителей заряда на тепловых колебаниях решетки и дефектов, а также электрон-дырочные компенсации. Однако, последняя версия не наблюдается на зависимости R(T) после ФП, что обусловлено сильным вырождением электронного газа.

И так качественное несогласие (Т) и R(T) в области ФП происходит одновременно с изменением концентрации носителей заряда, возникающим за счет изменения зонных параметров и электроактивных дефектов. Последнее же возникает за счет перехода ионов серебра от узлов к междоузлами.

Рис.1. Температурная зависимость электропроводности в Ag₂S точки

экспериментальные 1-с учетом изменения зонных параметров, 2-с

учетом изменения концентрации дефектов при ФП, 3-сумма концентрации

носителей заряда первого и второго варианта и с учетом рис. 3.

Рис. 2. Температурная зависимость коэффициента Холла в Ag₂S

обозначении те же на рис.1.

Рис. 3. Температурные зависимости энергии ( _g, E₁, E₂).