Қarshi muҳandislik-iқtisodiyot instituti “Axborot texnologiyalari va matematik modellashtirish” kafedrasi assistenti J

1-misol. Ushbu

tenglamalar sistemasining nolinchi yaqinlashishni = (2; 2) deb olib,uning aniq yechimi = (1; 1) ni Nyuton usuli yordamida aniqlang.
Yechish. Misolning yechimi jarayonini, iteratsiyalardagi taqosslashishlarni , orttirmalarni esa deb, quyidagi jadval shaklida ifodalaylik:

k	xk	yk
0	2,000000000	2,000000000	1,414213562	-
1	1,693548387	0,890322581	0,702167004	0,351
2	1,394511613	0,750180529	0,466957365	0,947
3	1,192344147	0,82284086	0,261498732	1,199
4	1,077447418	0,918968807	0,112089950	1,639
5	1,022252471	0,976124950	0,032637256	2,598
6	1,002942200	0,996839728	4,317853366E-3	4,054
7	1,000065121	0,999930102	9,553233627E-5	5,124
8	1,000000033	0,999999964	4,871185259E-8	5,337
9	1,000000000	1,000000000	1,272646866E-14	5,363

Bu natijalar shuni ko’rsatadiki, iteratsion jarayon juda tez yaqinlashadi– verguldan keyin yettita raqamgacha aniqlikdagi yechimga sakkizta iteratsiyadan keyin erishilgan. Agar berilgan tenglamalar sistemasini

boshlang’ich yaqinlashish bilan iteratsiya usuli bilan yechsak, u holda
taqqoslanayotgan xatolik bilan olingan yechimga 247 ta iteratsiyadan keyin erishiladi.
Jadvalning oxirgi ustunidagi sonlar usulning kvadratik yaqinlashishga ega ekanligini tasdiqlaydi. Haqiqatan ham, bog’lanish ildizning yetarlicha yaqin atrofida o’rinli, bunda C o’zgarmas esa yetarlicha katta: C  5,4.
Agar tenglamalar sistemasida tenglamalar soni ko’payib borsa, u holda Yakob matritsasini hisoblashning qiyinlashishi hisobiga Nyuton usulining hisoblash samaradorligi pasayib borishini ko’rishimiz mumkin. Agar bir o’lchovli holatni qaraydigan bo’lsak, u yerda f(x) va f (x) larni hisoblash qiyinchiligi deyarli bir xil. N o’lchovli holda esa f_i (x) larni hisoblash uchun n² ta hisoblashlarni bajarish talab etiladi, bu esa f_i (x) larni n marta hisoblashga hisbatan bir necha marta qiyin demakdir.
2-Misol. Quyidagi

sistemaning yechimini Nyuton usulida taqribiy hisoblang.
Yechish. Grafik usulda yoki tanlov yo’li bilan dastlabki yaqinlashish aniqlangan bo’lsin. U holda
, demak
(1.1.11) formulaga ko’ra

Hisoblashlarni shu singari davom qilib,

ni topamiz va hisoblashlarni talab qilingan aniqlikkacha davom ettiramiz.
Ushbu misolda berilgan tenglamalar sistemasi bitta haqiqiy yechimga ega ekanligini quyidagi mathcad dasturi yordamida chizilgan grafiklardan ko’rish mumkin.

1.1.3 chizmada tenglama grafiklari keltirilgan.
3-misol.
Berilgan ushbu
Tenglamalar sistemasining musbat ildizlari aniqlikda topilsin. Sistemaning ildizlarini grafik yordamida taqriban aniqlaymiz




1.1.4-chizmada. Tenglamalar grafiklari keltirilgan.
Chizmadan ko'rinishicha shu ildiz oraliqda yotadi. Boshlang'ich yaqinlashish sifatida olamiz.
Sistemani Nuyuton usulida yechish uchun


Endi soxada shartni bajarilishini tekshiramiz





Demak iteratsiya jarayoni yaqinlashadi.
aniqlik bilan yechimni aniqlash uchun zarur bo'ladigan iteratsiyalar soni



- bajarilishi kerak bo'lgan iteratsiyalar soni