Binar algebraik operatsiyalar

4. Yutuvchi elementning mavjudlik xossasi.

9-ta’rif. Agar to’plamda topilsaki, uchun tenglik bajarilsa, berilgan * algebraik amalga nisbatan element yutuvchi element deyiladi.

Butun sonlar to’plami da har qanday sonni 0 ga ko`paytirish natijasida 0 soni hosil bo`ladi .

Demak, ko`paytirish amaliga nisbatan 0 element yutuvchi element hisoblanar ekan. Shuningdek element * algebraik amalga nisbatan yutuvchi element bo`lsa, element bilan shu amal birgalikda berilgan har qanday ifodani element bilan almashtirish mumkin bo`ladi.

8. Simmetrik elementning mavjudlik xossasi.

Ratsional sonlar to’plamida quyidagi tengliklar o`rinli:

Birinchi tenglikda ayirish amali qo`shish amali bilan, soni esa, unga qarama-qarshi ( ) soniga, ikkinchi tenglikda bo`lish amali ko`paytirish amali bilan, soni esa unga teskari bo`lgan soni bilan almashtiriladi.

Qarama-qarshi, teskari sonlar simmetrik elementning xususiy hollaridir.

Aytaylik, to’plam va * algebraik amal berilgan bo`lsin, element to’plamining neytral elementi bo`lsin.

10-ta’rif. Agar uchun tenglik o`rinli bo`lsa, element a element uchun simmetrik element deyiladi.

Teorema. da berilgan * algebraik amal assotsiativ bo`lsa, * amaliga nisbatan ning har bir elementiga faqat bitta simmetrik element mos keladi.

Isbot. Aytaylik, to’plamda elementga ikkita va elementlar simmetrik bo`lsin.

U holda ta’rifga asosan .

* amal assotsiativ bo`lganidan

.

Bundan ko`rinadiki, * amaliga nisbatan to’plamning har bir elementi faqat bitta simmetrik elementga ega bo`ladi.

Shunday to’plamlar mavjudki, ularning har bir elementiga bitta ham simmetrik element mos kelmaydi.

Masalan, nomanfiy butun sonlar to’plamida qo`shish amaliga nisbatan ga simmetrik element ( ) mavjud emas, .

Ko`paytirish amaliga nisbatan simmetrik element teskari element, qo`shish amaliga nisbatan esa simmetrik element qarama-qarshi element deyiladi.

Ma’lumki, ratsional sonlar to’plamida ga teskari ( ); ga teskari ga qarama-qarshi ( ); ga qarama-qarshi , ya’ni o`rinli bo`ladi.

Teorema. Agar to’plamda berilgan * algebraik amal assotsiativ hamda to’plamning ixtiyoriy va elementlari va simmetrik elementga ega bo`lsa, tenglik o`rinli bo`ladi.

Teoremaning isboti talabalarga havola qilinadi.

Teoremaga asosan, bo`lsa, ; ; ; ; tenglik bajariladi.