Bu vazifalarni amalga oshirishda biz asrlar mobaynida shakllangan milliy an’analarimizga, ajdodlarimizning boy merosiga tayanamiz

2.3.Funksiyaning aniqlanish sohasidan foydalanish.Funksiyaning chegaralanganlik xossasidan foydalanish.
Funksiyaning aniqlanish sohasidan foydalanish.
Ba’zi hollarda tenglamaning aniqlanish sohasini bilish tenglamaning ildizi yо‘qligini isbotlashni, ba’zida esa tenglamaning yechimini aniqlanish sohasidan son qо‘yib kо‘rib topishni taqozo qiladi.
1-misol. (1) tenglamani yeching.
Yechish. Tenglamaning aniqlanish sohasi
dan iborat. Bundan . ning bu qiymatini (1) tenglamaga qо‘yib uning о‘ng va chap tomonlari 0 ga tengligini kо‘ramiz. Demak, hamma lar tenglamaning ildizi bо‘lar ekan.
J: .
Funksiyaning chegaralanganlik xossasidan foydalanish.
Tenglamalarni yechishda funksiyaning biror tо‘plamda quyidan yoki yuqoridan chegaralanganligi xossasi kо‘p hollarda katta rol о‘ynaydi. Masalan, biror tо‘plamdagi barcha lar uchun va ( biror son) tengsizliklar о‘rinli bо‘lsa, u holda tо‘plamda tenglama yechimga ega emas.
soni о‘rnida kо‘p hollarda nol bо‘ladi, bu esa va funksiyalarning tо‘plamda ishorasi saqlanishini bildiradi.
2-misol. tenglamani yeching.
Yechish: Ixtiyoriy haqiqiy soni uchun . . Bundan esa ixtiyoriy haqiqiy soni uchun tenglamaning chap tomoni 1 dan oshmaydi, о‘ng tomoni har doim 2 dan kichik emasligini kо‘ramiz. Demak, tenglamaning yechimi yо‘q ekan.
J: .
3-misol. tenglamani yeching.
Yechish: Ma`lumki, funksiyaning grafigi funksiyaning grafigidan yuqorida yotadi.U holda
Bundan va bo`lgani uchun tenglama yechimga ega emas.
J: .
4-misol. tenglamani yeching.
Yechish: Shartga ko`ra x > 0 va x < - 1 bo`lganda va .
Bu yerdan bo`lganda va .Demak tenglama yechimga ega emas.
J: .
5-misol. Tenglamani yeching.
Yechish: Shartga ko`ra va .
U holda va bo`ladi. Bu erdan yechim x = 0.
J: x=0
6-misol. (2) tenglamani yeching.
Yechish: Kо‘rinib turibdiki , tenglamaning yechimi bо‘ladi. Uning qolgan yechimlarini topish uchun funksiyaning toqligidan sohadagi yechimini topish yetarli. Agar uning yechimi bо‘lsa, u holda ham uning yechimi bо‘ladi. tо‘plamni 2 ta oraliqqa ajratamiz. (0;1) va (1;). (2) tenglamani kо‘rinishda yozamiz. (0;1) oraliqda funksiya faqat manfiy qiymatlar qabul qiladi. funksiya esa musbat qiymatlar qabul qiladi. Demak, bu oraliqda (2) tenglama yechimga ega emas.
bо‘lsin. Bu oraliqdagi ning har bir qiymatida funksiya musbat, funksiya esa har xil ishorali qiymatlar qabul qiladi. oraliqda funksiya musbat emas. Demak, oraliqda (2) tenglama yechimga ega emas.
Agar bо‘lsa, u holda . Bundan oraliqda ham (2) tenglama yechimga ega emas. Demak, faqat va lar berilgan tenglama yechimidir.
J: .
7-misol. (3) tenglamani yeching.
Yechish: berilgan (3) tenglamaning yechimi bо‘lsin, u holda
(4)
tenglik va va tengsizliklar о‘rinli. Tengsizliklarning о‘rinli ekanligidan (4) ning chap qismi va bilan, о‘ng qismi esa bilan bir xil ishoraga ega. va lar (4) tenglikni qanoatlantirgani uchun ular bir xil ishorali.(4) tenglikni quyidagi kо‘rinishda yozish mumkin.
(5)
Qisqa kо‘paytirish formulasi

ni qо‘llab (5) tenglikni quyidagi kо‘rinishda yozamiz.
(6)
bunda

va lar bir xil qiymatlar qabul qilgani uchun .
Shuning uchun (6) tenglikdan (3) tenglamaning ixtiyoriy yechimi uchun
tenglik о‘rinli. Shunday qilib (3) tenglamaning ixtiyoriy yechimi
(7)
tenglamani qanoatlantiradi. Demak, (7) tenglama (3) tenglamaga teng kuchli.
(7) ning yechimi . Bu (3) tenglamaning yechimidir.
J: .
Izoh: Xuddi 5-misoldagidek,

tenglama (bunda ) tenglamaga teng kuchli.

8-misol. (8) tenglamani yeching.
Yechish: ni orqali belgilaymiz. Modul ta’rifiga kо‘ra da da . da .
Shuning uchun agar bо‘lsa (8) tenglamani yoki kо‘rinishda yozish mumkin. Bu tenglamaning yechimi . Bu qiymatlardan shartni faqat lar qanoatlantiradi. Agar bо‘lsa (8) tenglamani yoki kо‘rinishda yozish mumkin.
Bu tenglama yechimga ega. Bu qiymatlardan shartni faqat lar qanoatlantiradi.
Endi oraliqni kо‘rib о‘tamiz. Bu oraliqda (8) tenglamani kо‘rinishda yozamiz.
(9)
(9) tenglama yechimi ekanligi aniq. Demak, u berilgan (8) tenglamaning ham yechimi bо‘ladi. (9) tenglamaning oraliqda boshqa yechimi yо‘qligini isbotlaymiz. uchun (9) tenglama tenglamaga teng kuchli.
Ixtiyoriy da faqat musbat qiymatlar qabul qiladi. Shuning uchun (9) tenglama da yechimga ega bо‘lmaydi.
J: ;
Agar (10) tenglamalarni yechishda biror tо‘plamga tegishli hamma lar uchun va tengsizliklar о‘rinli bо‘lsa, u holda tо‘plamda (10) tenglama quyidagi tenglamalar sistemasiga teng kuchli bо‘ladi.
(11)
9-misol. (12) tenglamani yeching.
Yechish: (12) tenglama barcha haqiqiy lar uchun aniqlangan. Ixtiyoriy uchun .
Natijada (12) tenglama quyidagi tenglamalar sistemasiga teng kuchli.
(13)
(13) sistema 2-tenglamasining yechimi va . Bu qiymatlardan 1-tenglamani faqat qanoatlantiradi. Demak, berilgan tenglamaning yagona yechimi ekan.
J: 0.
10-misol. (14) tenglamani yeching.
Yechish: bо‘lgani uchun (14) tenglamani quyidagi kо‘rinishda yozamiz yoki
(15)
Ixtiyoriy uchun bо‘lgani uchun (15) tenglama quyidagi sistemaga teng kuchli
(16)
(16) sistema quyidagi tenglamalar sistemasi majmuasiga teng kuchli.
(17)
Birinchi sistemaning yechimi , ikkinchi sistemaning yechimi . Hamma bu yechimlar berilgan tenglamaning yechimi bо‘ladi. J: .