Bu vazifalarni amalga oshirishda biz asrlar mobaynida shakllangan milliy an’analarimizga, ajdodlarimizning boy merosiga tayanamiz

2.4.Sinus va kosinus funksiyalar xossalaridan foydalanish.
Kо‘pgina trigonometrik tenglamalarni yechish tenglamalar sistemasini yechishga keltirilishi mumkin. Bunday tenglamalarga misol qilib quyidagi tenglamalarni keltirish mumkin.



(18)
bunda berilgan haqiqiy sonlar, va - berilgan natural sonlar. Bunday tenglamalarni yechishda sinusning quyidagi xossasidan foydalaniladi: agar biror soni uchun qat’iy tengsizlik о‘rinli bо‘lsa,u holda soni (18) tenglamalardan birortasining ham yechimi bо‘lmaydi. Xuddi shuningdek


tenglamalarni yechishda kosinus xossasidan foydalaniladi: agar biror soni uchun qat’iy tengsizlik о‘rinli bо‘lsa, u holda soni bu tenglamalardan birortasining ham yechimi bо‘lmaydi.
11-misol. (19) tenglamani yeching.
Yechish: Agar (20) tenglamaning yechimi bо‘lsa, u holda yo yoki bо‘ladi. Haqiqatan ham agar bо‘lsa (19) tenglamadan bо‘lishi kerak edi, ammo bu bо‘lishi mumkin emas. Agar bо‘lsa (19) tenglamadan ekanligi, agar bо‘lsa, ekanligi kelib chiqadi. Natijada (19) tenglamaning ixtiyoriy yechimi quyidagi 2 ta sistemalardan birining yechimi bо‘ladi.
(20)
(21)
(20) va (21) sistemalarning ixtiyoriy yechimi (19) tenglamaning yechimi ekanligini oson kо‘rish mumkin. Natijada (19) tenlama (20) va (21) tenglamalar sistemasi majmuasiga teng kuchli. Bu sistemalarni yechamiz.
(20) sistemaning birinchi tenglamasidan .
Bularning hammasi bu sistemaning ikkinchi tenglamasini qanoatlantiradi va (20) sistemaning yechimi bо‘ladi. (21) sistemaning birinchi tenglamasi yechimga ega.
Bu sonlardan birortasi bu sistemaning ikkinchi tenglamasini qanoatlantirmaydi. Shuning uchun (21) sistema yechimga ega emas. Demak, berilgan (19) tenglamaning yechimi (20) sistemaning yechimi bilan ustma – ust tushadi.
J: .
13-misol. (20) tenglamani yeching.
Yechish: Agar (24) tenglamaning yechimi bо‘lsa, u holda (aks holda bо‘lishi mumkin emas). Demak, . Natijada (20) tenglamaning ixtiyoriy yechimi quyidagi sistemaning yechimi bо‘ladi.
(21)
(21) sistemaning ixtiyoriy yechimi (20)tenglamaning yechimi bо‘ladi. Shuning uchun (20) tenglama (21) sistemaga teng kuchli. (21) sistemaning 1-tenglamasi yechimga ega.
Bu yechimlardan (21) sistema 2-tenglamasini qanoatlantiradiganlarini topamiz. Bular quyidagi tenglikni qanoatlantiradigan sonlaridir.
(22)
(26) ni quyidagi kо‘rinishda yozamiz (22)
va lar butun sonlar bо‘lgani uchun (22) tenglik da о‘rinli, ammo bunda .
Demak, (25) sistemaning yechimi shunday larki,
.

J: .