Ce este o conjectură ? de Miron oprea, ploieşTI

CE ESTE O CONJECTURĂ ?

de MIRON OPREA, PLOIEŞTI
Este bine ştiut că încă de la începuturile sale, matematica a creat şi s-a dezvoltat prin probleme, ajungând astăzi să vorbim de Universul matematic care domină întreaga cunoaştere şi care a dus la civilizaţia actuală. Volumul şi calitatea cunoştinţelor matematice la începutul mileniului III sunt impresionante şi cresc întru-un ritm rapid: se estimează că în ultimii 25 de ani, numărul teoremelor (demonstrate) creşte cu 1000000 pe an. Dar numărul problemelor ce se nasc anual este de câteva sute de mii: o parte îşi primesc rezolvarea (devin fie teoreme, fie probleme închise) iar o bună parte rămân probleme deschise (cele ce nu au fost rezolvate). Evident că nu orice problemă nerezolvată capătă statutul de conjectură. Se consideră probleme deschise în matematica ştiinţă, acele probleme de excepţie, nobile, provocatoare care pot declanşa teorii sau chiar ramuri noi în Universul matematic. Existenţa problemelor deschise asigură corectarea (individuală sau sub formă instituţionalizată) şi progresul în matematică. Propoziţiile logice din matematică ce au fost demonstrate (dovedite) sunt desemnate prin termenii: lemă, propoziţie, teoremă sau corolar, iar cele ce nu sunt încă demonstrate (din diverse motive) prin termenii: axiomă, postulat, problemă, ipoteză şi conjectură.

Termenul de conjectură a apărut ultimul, introdus de D.Hilbert, în formularea celor 23 de probleme supuse spre rezolvare comunităţii internaţionale a matematicienilor la al II-lea „Congres internaţional al matematicienilor” din 1900 de la Paris. Primele probleme deschise din istoria matematicii au apărut în Antichitatea greacă: cuadratura cercului (- 435 autor Artemon din Clazomene), duplicarea cubului ( - 430 autor Hippocrate din Chias) şi trisecţiunea unghiului ( - 425 autor Hippias din Elis). Rezolvarea lor s-a făcut de-abia în secolul al XIX-lea. Cuvântul conjectură provine de la latinescul conjectura =ipoteză, prezumţie, opinie bazată pe aparenţe. În mod obişnuit, prin conjectură se înţelegere orice explicaţie presupusă a unui fenomen (eveniment) constituită fără certitudine şi în afara oricărei dovezi (probe) plecând de la aparenţă sau presupuneri. În acord cu Hilbert (autorul termenului de conjectură) se înţelege prin conjectură acea problemă deschisă care poate furniza arhitectura unei teorii în matematică (sau o direcţie nouă) sau avansarea unui nou domeniu.

Aritmetica şi apoi Teoria numerelor au produs cele mai multe şi subtile conjecturi în matematică. De exemplu Pierre Fermat (părintele teoriei numerelor) a produs 48 conjecturi (trei s-au dovedit false) care au reprezentat probleme de cercetare pentru mulţi matematicieni (Euler, Gauss, Cauchy, Riemann, etc). Ultima conjectură a lui Fermat (cunoscută ca Marea teoremă a lui Fermat) a fost că ecuaţia pentru n≥3 nu are soluţii în Z \{0}şi s-a demonstrat deabia în 1994 de către matematicianul englez Andrew Wiles. Însă găsim probleme deschise în majoritatea domeniilor matematicii: analiză, geometrie, topologie etc. propuse de diverşi matematicieni (multe le poartă numele): ipoteza lui Riemann, ipoteza conţinutului, ipoteza lui Poincaré, ipoteza (conjectura) lui Kepler, conjectura lui Bieberbach, etc. În anul 2000, Institutul matematic Claz (USA) a lansat în cadrul unei Conferinţe aniversare a centenarului congresului internaţional al matematicienilor din 1900, un număr de 7 probleme (numite problemele mileniului trei) spre rezolvare: fiecare problemă este cotată cu un premiu de 1000000 de dolari. Printre aceste probleme se află şi celebra ipoteză a lui Riemann:

Funcţia: ζ(s)= unde sC are zerourile în C situate pe drepte cu bR.

Această conjectură reprezintă cea mai importantă şi dificilă problemă a matematicii contemporane. Înainte de a muri, Hilbert a fost întrebat, dacă ar învia după 500 de ani, ce întrebare ar pune, şi el a răspuns: dacă a fost rezolvată ipoteza lui Riemann.

Iată câteva conjecturi din Teoria numerelor (care pot fi înţelese de orice absolvent de liceu, ceea ce nu înseamnă că au şi rezolvare elementară):

1) Înţelegem prin număr prim Mersenne, numărul prim de forma: . Exemplu: ; ; ; ; …

Până azi se cunosc numai 37 de numere prime Mersenne (care sunt din ce în ce mai mari, obţinute cu supercalculatorul). Cel mai mare număr prim Mersenne obţinut în 1997 (în Anglia de Gordon Spence) este care are 895932 cifre. Întrebarea este: există o infinitate de numere prime Mersenne ?

2) Se înţelege prin număr perfect, un număr natural egal cu suma divizorilor săi (suma părţilor sale alicate) mai puţin el însuşi. De exemplu: 6 = 1+2+3; 28 = 1+2+4+7+14; … .S-a conjecturat că orice număr perfect este par (această afirmaţie este încă nedemonstrată). La fel nu se ştie dacă există o infinitate de numere perfecte.

3) Înţelegem prin număr prim Fermat, numărul cu nN care este prim. Fermat a arătat că , , , , sunt prime şi a conjecturat că oricare ar fi nN, este prim. Euler a arătat că nu este prim deoarece = 641 x 6700417. Nu se ştie nici până azi dacă există o infinitate de numere prime Fermat şi nici dacă există o infinitate de numere Fermat compuse. Importanţa numerelor prime Fermat a fost arătată de Gauss, demonstrând proprietatea că se pot construi cu rigla şi compasul numai poligoanele regulate cu n laturi unde , iar sunt numere prime Fermat distincte.

4) Două numere naturale a şi b se zic prietene (amice) dacă suma părţilor alicate ale unuia este egală cu celălalt. De exemplu: a = 220 şi b = 284. Nu se ştie dacă există o infinitate de perechi de numere amice. Mai general, trei numere naturale a, b, c se zic sociabile, dacă b = σ(a), c = σ(b), a = σ(c) unde σ(n) este suma părţilor alicate a numărului natural n. Un exemplu de numere sociabile sunt: a = 1945330728960; b = 2324196638729; c = 2615631953920. Nu se ştie dacă există o infinitate de triplete sociabile.

5) Numerele prime p, q se zic gemene, dacă |p - q| = 2. De exemplu (3;5); (5;7); (17;19); (29;31);….Nu se ştie dacă există o infinitate de numere prime gemene.

6) În 1742, matematicianul Christian Goldbach, într-o scrisoare trimisă marelui matematician al vremii Leonard Euler (1707 – 1783), îi propune problema să arate că orice număr par > 6 este suma a două numere prime. De exemplu: 12 = 5 +7, 18 = 5 + 13 = 7 + 11;….

Nici până azi această problemă nu a fost rezolvată (pozitiv sau negativ), devenind astfel pentru istoria matematicii ipoteza (conjectura) lui Goldbach. De această conjectură, pe parcursul a apeste 250 ani, s-a ocupat o serie de mari matematicieni: Gauss, Dirichlet, Kummer, Hardy, Littlewood, Papachristas. În 2000, editura Faber&Faber a oferit un premiu de 1000000 de dolari pentru rezolvarea conjecturii lui Goldbach.

Iată acum şi două conjecturi celebre din geometrie:

1) În corespondenţa dintre astronomul şi geometrul Johannes Kepler (1571 – 1630) şi matematicianul britanic Thomas Harriot (1560 – 1621) s-a născut aşa zisa conjectura lui Kepler, care constă în aranjarea unor sfere de aceeaşi rază într-un spaţiu închis astfel încât să optimizeze ocuparea acestuia. Este exact ceea ce vedem cum sunt aşezate portocalele, roşiile etc. Pe tarabe în piaţă. Kepler a conjecturat că aşezarea optimă (din mai multe posibile) a sferelor este a reţelei centrate (în care fiecare sferă este înconjurată de 12 sfere împărţite în două straturi paralele cuprinzând fiecare câte 6 sfere tangente unei sfere oarecare). În primul strat se înconjoară o sferă cu alte 6 sfere tangente (se obţine o aşa zisă stea hexagonală), apoi al doilea strat format din sfere aşezate în spaţiile goale ale primului strat şi aşa mai departe. S-a constatat că această aşezare ocupă 74% din spaţiul de împachetare. O altă aşezare a sferelor este când al doilea strat se aşează peste primul astfel încât sferele să fie tangente încât să formeze o reţea pătratică. În acest caz se ocupă 53% din spaţiul de aranjare. Kepler a analizat o serie de configuraţii de aşezare a sferelor şi a ajuns la concluzia (fără demonstraţie) care a rămas sub numele de conjectura lui Kepler, că aşezarea în straturi de reţea hexagonală este optimă. De această conjectură s-au ocupat în decursul veacurilor mulţi matematicieni celebri, însă fără succes. În anii 1990, matematicianul Thomas Hale de la Universitatea Pittsburg (SUA) a publicat o serie de lucrări legate de această conjectură culminând în 1997 cu un articol de 250 pagini publicat în Annals of Mathematics în care conjectura este demonstrată în proporţie de 99% cu ajutorul calculatorului. Deci nu e o demonstraţie completă (iată cum folosind calculatorul în scop demonstrativ, obţinem grade de demonstraţie în matematică). Nemulţumit, Hale a lansat proiectul flyspeck pentru a da o demonstraţie formală completă a conjecturii. Doritorii care vor să intre în acest proiect se pot informa la adresa: www.math.pitt.edu/thales/flyspeck .

2) O altă conjectură geometrică este conjectura (ipoteza) punctelor care a fost trecută de curând în rândul teoremelor (problemelor rezolvate): Fie o mulţime de n (cu n≥4) puncte distincte necoliniare care determină mulţimea de drepte. Să se arate că oricare ar fi aşezarea celor n puncte, există întotdeauna drepte în Δ care conţin numai două puncte din M. Această problemă (al cărei autor nu-l cunosc) a rămas nerezolvată peste 40 de ani. Nu de mult ea a fost rezolvată folosind un minim de cunoştinţe de geometrie care se obţin în şcoala gimnazială.

Un raţionament foarte simplu arată că: . Rezolvarea acestei conjecturi este integral rezolvată în [3].

Conjecturile au reprezentat şi reprezintă în continuare căi prin care matematica se dezvoltă alături de metodele reprezentate de programele de cercetare (cercetarea pe bază de program) cum sunt: programul de la Erlangen (pentru geometrie), programul lui Hilbert sau programul Langlands.

În secolul al XIX-lea matematicianul E. Catalan a lansat conjectura care-i poartă numele, după care ecuaţia are singura soluţie x=3; y=2; z=2; t=3. Această conjectură a fost tranşată de matematicianul german (de origine română) Preda Mihăilescu, în anul 2001. Amănunte în Axioma – supliment matematic Nr. 6/2003.

Bibliografie:
[1] Barry Mazur: “Conjectura” (în Synthese, 1997)

[2] W.Sierpinski: “Ce ştim şi ce nu ştim despre numerele prime” (Bucureşti 1966, Ed.Ştiinţifică)

[3] Simion Singh: “Marea teoremă a lui Fermat” (Ed. Humanitas, Bucureşti, 1998)

[4] Keith Devlin: “Vârsta de aur a matematicii” (Ed. Theta, Bucureşti, 2000)

[5] Solomin Marcus: “Moduri de gândire” (Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1987)

[6] Miron Oprea: “Ce este o conjectură şi ce înseamnă o conjectură ?” (Rev. Axioma, Nr.8/2001)