Chiziqli avtomatik boshqarish sistemalarining turg’unligi

Chiziqli avtomatik boshqarish sistemalarining turg’unligi.

REJA:
Kirish


Asosiy qism

1. Turg’unlik tushunchasi. Turg’unlik masalasining umumiy qo`yilishi. A.M.Lyapunov teoremasi.
2. Chiziqli avtomatik boshqarish sistemasininig turg’unlik sharoitlari. Turg’unlikning algebraik mezonlari. Raus turg’unlik mezoni.
3. Gurvits turg’unlik mezoni. Lenar – Shipar turg’unlik mezoni.
4.Turg’unlikning chastotaviy mezonlari. Argumentlar prinsipi.
5. Mixaylov turg’unlik mezoni.
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar

Kirish
Avtomatik tizimlarining dinamikasini hisoblash uchun uzatish va chastota funktsiyalari degan tushuncha kiritilib, bu funktsiyalar AS lar tahlilida muhim rolg’ o`ynaydi. Ushbu funktsiyalar orqali chastotali usullardan foydalanilnb, ularning asosida Laplas va Furg’e o`zgarti-rishlari yotadi. CHastotali usullar ham chiziqli va ayrim hollarda egri chiziqli AS lar uchun ham qo`llaniladi.
Endi shu o`zgartirishlarni qo`llash orqali uzatish va chastota funktsiyalariga ega bo`lishni ko`raylik.
Oldingi Paragrafda aytib o`tilganidek Laplasning to`g`ridan-to`g`ri o`zgartirish usulini haqiqiy o`zgaruvchi funktsiyasiga tadbiq etib, boshlang`ich nolg’ shartlarda operator tenglamasiga ega bo`lishi mumkin:
A(r)x_chik(r)=V(r)x_kir(r)+s(r)z(r) ' (1)
(1) formuladan foydalaygan holda uzatish funktsiyasi haqidagi tu-shunchani kiritamiz. Agar chiziqli tizimlar uchun superpozitsiya qonuni-yatini ko`llaydigan bo`lsak, (1) dan berilayotgan va qo`zg`atuvchi tahsirlar uchun uzatish funktsiyasini olish mumkin:
Uzatish funksiyasi - bu chiqishdagi o`zgaruvchini kirishdagi o`zga­ruvchiga boshlang`ich nolg’ shartlardagi nisbati orqali aniqlanib, Laplas tasviri bilan ifodalanadi. Bo`g`in yoki elementlarning ochiq yoki yopiq konturlari uchun uzatish funktsiyalari mavjud bo`lib, ular o`zaro farqlidir. Umuman olganda, uzatish funktsiyasi operator tenglamaning kirishdagi o`zgaruvchisida turgan ko`pxadning chiqishdagi o`zgaruvchisida turgan ko`phadni nisbatlari orqali aniqlanadi.
Bunday aniqlashlilik shuni ko`rsatadiki, avtomatik tizimlarning uza­tish funktsiyasi berilayotgan yoki qo`zg`atish tahsirlarining turiga emas, balki funktsional elementlarning Parametrlariga bog`lik ekan. Uzatish funktsiyalari bahzan kuchaytirishning dinamik koeffitsienti deb ham ataladi.
AS lar tahlilida chastotali usullar alohida elementlarning (boshqar-ning, obhektning, kuchaytirgichning va h.k.) hamda butun tizimning chasto-tasi tavsiflarini ko`rib chiqishga asoslangan. Chiziqli tizimning asosiy teskari bog`lanishini uzib turib va -ppimni kirishiga sinusoida shaklida tahsir kiritiladigan bo`lsa, u holda turg`unlashgan rejimda, tizimning chiqishdagi xuddi o`shanday chastotaga ega bo`lgan, lekin amplituda va faza jihatidan o`zgacha bo`lgan garmonik funktsiyaga ega bo`lamiz:

Ochiq tizimlarining kirish va chiqishidagi garmonik signallarni tahlil qiladigan bo`lsak, chastota funktsyasi bilan tavsiflanadigan uning xususiyatlarini aniqlash mumkin:

K (jw) funktsiyasi kompleks chastota funktsiyasi yoki soddaroq qilib, ochiq tizimlarining chastota funktsiyasi deb ataladi. U avto­matik tizimlarini tashkil etuvchi elementlarning Parametrlariga va chastotasiga bog`liq. Chastota funktsiyasini uzatish funktsiyasidagi R ni jw ga almashtirish yo`li bilan olish mumkin. Bunday almashtirish boshlang`ich O shartlarda differentsial tenglamalarga Furge o`zgartirishini qo`llashga o`xshagandir. Chastota funktsiyasi turg`unlashgan majburiy davriy harakatlar uchun kompleks kuchaytirish koeffitsientini ifodalaydi va (2.32) formula orqali aniqlanadi.
Maxrajdagi mavhum qismini tashlab yuborib quyidagiga ega bo`lamiz:

(7) va (8)dagi A₀ ( ) va f₀ ( ) lar, mos holda, kompleks kattalikning moduli va argumentidir. Ular K(jw) vektorning kompleks tekislikdagi katgalgini va yo`nalishini ko`rsatadi (2-rasm). Chastota funk­tsiyasining moduli amplitudalarning kirshi va chikishidagi kiymatlarini nisbatini bildiradi. SHuning uchun uni berilgan chastotadagi amplittuda bo`yicha kuchaytirish koeffitsienta deb ifodalansa ham bo`laveradi.

Har bir chastotaga argument va modulning mahlum bir qiymatlari, yahni amnplituda va fazasi to`g`ri keladi. Bunda chiqishdagi o`zgaruvchini ampli-tudasi va chastotasi chastota funktspyalari orqli aniqlanadi. U element­larning va tizimlarining garmonik tebranishlarni kirishdan chiqishgacha uzatish kobilyatini belgilaydi (kirishdagi signalning amplitudasiga va fazasiga nisbatan siljish bor yoki yo`q bo`lgan hollarda chiqishdagi amplitudani ortishini yoki kamayishini ko`rsatadi.
Avtomatikada, chastota funktsiyalari o`tish jarayonlarini, yoki tizimlarini turg`un yoki noturg`unn ekanliklarinn annqlashda keng qo`llaniladi. Agar, bordiyu kirishdagi o`zgaruvchini chiqishdagi o`zgaruvchiga nisbati olinsa, u holda teskari chastota funktsiyasi hosil bo`ladi. Ko`ngina hollarda uning analitik ifodasi keyinchalik o`zgartirishlar uchun qulaydir. CHunki har kanday real bo`g`inda suratdagi ko`phad darajasi V(r) mahrajdagi ko`phad darajasi A(r) dan kichikdir. Teskari chastota fun­ktsiyasi
CHastota funktsiyalari bo`lmish K(jw) va W(jw) larni, mahlum bir chastotalarda (5), (6) va (9) ifodalarga mos holda, komp­leks teknslikdagi vektorlar ko`rinishida ifodalash mumkin (2-rasm). Vektorlarning geometrik uchlari (chastota funktsiyasining) turli xil chastotalarda chastota funktsiyasinn ifodalaydi (2- rasm) va u o`z navbatida avtomatik tizimning amplituda - faza tavsifisini (AFT) ni bildiradi. Uni (5) (9) formulalar orqali xisoblanadi. Ochik tizimlarning AFT lari, odatda, chiziqli va chiziqli bo`lmagan tizimla­rining turg`unligini aniqlashda va nochiziq tizimlarining avtotebra-nishlarini aniqlashda kqo`llaniladi.
Amplitudani chastotaga bog`liqligi amplituda chastota tavsifisi (ACHT) deb ataladi:
bu yerda - ochiq tizimning haqiqiy
yoki faol chastota tavsifisi; ochiq tizimning mavhum yoki reaktiv chastota tavsifisidir.
Xuddi shunday tavsifilarni yopik tizimlar uchun ham olish mumkin:
bu yerda
Xaqiqiy va mavhum chastota tavsifilari mustaqil holda qurilishi mumkin bo`lib, avtomatik boshqarish nazariyotida muhim rolg’ o`ynaydi. Fazani chasgotaga bog`likliga grafigi faza-chastota xarakteristikasi (FCHT) deb ataladi.
Yuqorida ko`rsatib o`tilgan chastota tavsifilari orasida o`zaro bog`liqlik mavjud bo`lib, u chastota funktsiyasi vektorlarinn tavsiflovchi trigonometrik munosabatlardai kelib chiqadi (2-rasm). CHastota tavsiflaridan xar biri mahlum bir aniqlikda tizim yoki elementlarning xususiyatlarini aniqlaydi.
Quyidagi tizmalarda chastotali tavsifilarning umumiy ko`rinishlari berilgandir. To`g`ri chiziqlarda berk tizimlar, shtrix chiziqlarda esa ochiq tizimlar tavsifilari ko`rsatilgan.
3,a-rasmda ampilituda chastota tavsifisi (ACHT) 3,6- rasmda FCHT va 3,b - rasmlarda esa mos holda haqiqiy va mavhum chastota tavsifilari ko`rsatilgandir. Chiqishdagi o`zgaruvchi deyarli har doim kirishdagi o`zgaruvchidan orqada qolganligi sababli burchak doimo manfiy ishorali bo`ladi. Chastota tavsifilari dif­ferentsial tenglamalar uchun Laplas o`zgartirishlarini qo`llagan holda olnnganligi sababli o`tish jarayonlari bilan yaqin bog`lanishga, yahni funktsiya asli bilan bog`lanishga egadir. Avtomatik boshqarish nazariyotida, odatda, boshlang`ich nolga shartlar uchun ko`riladi. Chastota funktsiyalari va o`tish funktsiyalari o`rtasidagi mahlum bog`lanishlar avtomatik boshqarish tizimlarida jarayonning sifatini aniqlashda keng qo`llaniladi. Chastota tavsifila­ri manfiy chastotalar uchun ko`rilishi mumkin va bu fizik mahnoga emas, balki matematik mazmunga egadir. (5) dan ko`rinib turibdiki, chastota funktsiyasi bo`lmish K(jw) ning haqiqiy qismi chastotaning juft funktsiyasi xisoblanadi, shuning uchun man­fiy chastotalarda musbat chastotalarda qanday qiymatlarga ega bo`lsa, xuddi shunday kattaliklarga egadir. CHastota funktsiyasining mavhum qismi chastotaning toq qismini tashkil etib, manfiy chastotalarda boshqa ishoraga ega bo`ladi.
(15) ga asosan shunday xulosa qilish mumkinki, musbat va manfiy chastotalarda AFTlar haqiqiy o`qda nisbatan simmetrikdir (4-rasm), shu sababli AFT faqat musbat chastotalar uchun quriladi.
SHuni aytib o`tish kerakki, amalda chiziqli bo`lmagan tizimlar tekshirilganda manfiy ishorali AFT lar musbat ishorali chastotalar uchun qurilib qo`llaniladi (ularning barcha vektorlari 180° ga buriladi). (10) orqali qurilgan chastota tavsifilari teskari tavsifilar deb atalib, ular ham faqat musbat chastotalar uchun qo`llaniladi. Agar, bordiyu, manfiy teskari AFTlar qo`llaniladigan bo`lsa, teskari tavsifining barcha vektorlari 180° ga buraladi.