Chiziqli avtomatik boshqarish sistemalarining turg’unligi

6.2. Chiziqli va chiziqli ACS barqarorligi uchun zarur shartlar.

Chiziqli (chiziqli) avtomatik boshqaruv tizimlarining barqarorligi uchun eng oddiy zaruriy shart  "kirish-chiqish" o'zgaruvchilari bilan yozilgan tizimlar uchun tuzilgan va u yopiq va ochiq avtomatik boshqaruv tizimlari uchun bir xil "nashrda" qo'llaniladi. Bu holat yopiq ACS uchun D(s)  xarakterli polinomi yoki ochiq ACS uchun L(lar) yordamida isbotlangan . D(lar) ga asoslanib xulosa chiqaramiz
D(lar) polinomini elementar chiziqli omillarga ajratamiz:
.
Birinchi qavsda biz quyidagi ifodani olamiz:  Shunday qilib, biz ko'phadning faqat ijobiy koeffitsientlarini olamiz.Shunday  qilib, chiziqli ACS barqarorligi uchun zarur shartni shakllantirishimiz mumkin:
Chiziqli ACS barqarorligining zaruriy sharti polinomdagi barcha koeffitsientlarning musbatligi  - yopiq ACS uchun yoki in - ochiq ACS uchun.
1 va 2-darajali tizimlar uchun zarur shart ham etarli.
Ammo tartibli tizimlar uchun zarur shartni bajarish har doim ham etarli emas.
Biroq, zarur shart "juda qulay", ya'ni. agar D(lar) dagi kamida bitta koeffitsient manfiy bo'lsa, ACS bir ma'noda beqaror.
Agar zarur shart bajarilsa  , matritsaning tartibi 2 dan katta bo'lsa  , xarakteristik tenglamaning ildizlarini (o'tkazish funktsiyasining qutblarini) hisoblash yoki barqarorlik mezonlaridan birini qo'llash kerak. ACS barqarorligi haqida tegishli xulosa chiqarish.

6.3. Xurvitsning algebraik barqarorlik mezoni. 

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, har qanday ACSning barqarorligi barcha qutblarning qiymatini (yoki mos keladigan xarakterli tenglamaning ildizlarini) hisoblash orqali aniqlanishi mumkin. Biroq, har kim ham kompyuter (kalkulyator)siz kvadratikdan (kubik va boshqalar) yuqori quvvat tenglamasini echishga qodir emas. 
Rauss mezonining alohida holati bo'lgan Xurvits mezoni yoki tipidagi tenglamalarni echmasdan , xarakterli polinom koeffitsientlaridan foydalangan holda "oddiy" hisoblar asosida ACS barqarorligi haqida xulosa chiqarishga imkon beradi.
Ko‘phadni o‘zgartirilgan shaklda ifodalaymiz :

Ushbu polinom ifodasi Xurvits matritsasi yaratishga imkon beradi, buning uchun:

1. 
   asosiy diagonal bo'ylab asosiy diagonal bo'ylab, chapdan o'ngga, xarakteristik tenglamaning koeffitsientlari dan  gacha o'rnatiladi  ;
   
2. 
   diagonalning har bir elementidan yuqoriga va pastga, determinantning ustunlari to'ldiriladi, shunda indekslar yuqoridan pastgacha kamayadi;
   
3. 
   noldan kichik yoki katta indeksli koeffitsientlar nolga  almashtiriladi:
   

Avtomatik boshqaruv tizimlarining barqarorligi va sifati
3.1. Barqarorlik ta'rifi
ACS ning asosiy maqsadi tizimda tashqi buzilishlar mavjud bo'lganda boshqariladigan qiymatni ma'lum darajada ushlab turishdir. Shuning uchun avtomatik boshqaruv tizimi, agar muvozanat holatidan chiqarib, o'z-o'zidan qoldirilsa, vaqt o'tishi bilan muvozanat holatiga qaytishga moyil bo'lsa, barqaror deb ataladi.
Tizimning barqarorligi erkin harakatning tabiati bilan belgilanadi, ma'lumki, bir hil differensial tenglama (o'ng tomonisiz) bilan tavsiflanadi. Shuning uchun tizimning dinamikasini tavsiflovchi tenglamaning o'ng tomonining shakli barqarorlikka ta'sir qilmaydi.
Umumiy holda, tizimning erkin harakatini quyidagi shakldagi bir hil differentsial tenglama bilan tavsiflash mumkin:
, (72)
bu erda y - boshqariladigan qiymat;


a ₀ , a ₁ ... a _p - tizim parametrlari bilan aniqlangan doimiy koeffitsientlar.
Ta'rifga ko'ra, agar tizim barqaror bo'lsa

(73)
(72) tenglamaning yechimini quyidagi shaklda ifodalash mumkin:
, (74)
Bu erda C _i - boshlang'ich shartlardan aniqlangan integratsiya konstantalari,