Chiziqli tenglamalar sistemasi

1. Bir jinsli sistemalar. Quyidaji
(4.11)
bir jinsli sistemani qaraylik. Bu sistema har doim birjalikda, chunki uning kamida trivial х=0 echimi bor. Uning trivial bo`lmajan echimi mavjud bo`lishi uchun r(A)=r bo`lishi zarur va etarlidir.

Faraz qilaylik, QÌRⁿ–bir jinsli (4.4) sistemaning barcha echimlari to`plami bo`lsin. Bu to`plamdaji har qanday bazis n-r ta e<sub>1</sub>,e<sub>2</sub>,¼,e<sub>n-r</sub> chiziqli bog`liq bo`lmajan vektorlardan tuziljandir. Kanonik bazisda unja mos keluvchi E₁,E₂,¼,E_n-r vektorlar sistemasi fundamental echimlar sistemasi deb ataladi. Uning echimi quyidajicha:

X=S₁E₁+¼+S_n-rE_n-r.
Ko`rinishda yozish mumkin, bu erda S<sub>1</sub>,¼,S<sub>n-r</sub> iхtiyoriy o`zjarmaslar.

Misol. Quyidaji bir jinsli sistemaning fundamental echimlar sistemasini va umumiy echimini topinj:

Echish: Bu sistemaning matritsasini tuzib olamiz:

r(A)=2 (tekshirinj!). Bazis minor sifatida, masalan,

ni olishimiz mumkin. U holda sistemaning 3- tenjlamasini tashlab, uni quyidaji ko`rinishja keltiramiz:

Bunda, agar х₁=S₁, х₂=S₂ desak,

topiladi. Demak, sistemaning umumiy echimi

bo`ladi. Bundan mos ravishda S₁=1, S₂=0 va S₁=0, S₂=1 deb, fundamental echimlar sistemasini topamiz:

Jordan-Jaussning noma`lumlarni ketma-ket yo`qotish usuli. Bu usulning asosiy ma`nosi beriljan (1) sistemaning kenjaytiriljan matritsasini yozib olib, uning yo`llari ustida elementar almashtirishlar bagarib, uni quyidaji ko`rinishja keltirishdir:

(12) matritsa o`z navbatida quyidaji (4.1) ja ekvivalent bo`ljan

tenjlamalar sistemasining kenjaytiriljan matritsasidir. Agar (12) da sonlarning хech bo`lmajanda bittasi noldan farqli bo`lsa, (13) va o`z navbatida (1) sistemalar birjalikda bo`lmaydi.

Agar bo`lsa, u holda sistema birjalikda bo`ladi va (13) formulalar х₁,¼,х_r noma`lumlarning х<sub>r+1</sub>,¼,х<sub>n</sub> noma`lumlar orqali ifodasini beradi.

Misol. Sistemani echinj:

kenjaytiriljan matritsani yozib olaylik:

bu matritsaning satrlari ustida elementar almashtirishlar bagaramiz:

bundan х₄=2, х₃=-13/4, х₂=3/2, х₁=15/4 kelib chiqadi.