Comportamentul optim al agentului consumator modelul static

1. Comportamentul agentului consumator - modelul static

Ipotezele modelului static sunt :

• 
  Pe piaţă există un consumator şi n bunuri
  
• 
  Consumatorul nu poate influenţa preţurile bunurilor v鈔dute şi nici venitul obţinut (preţurile şi venitul sunt exogene)
  
• 
  Optimizarea se face pe un singur orizont de timp (o singură perioadă)
  
• 
  Agentul consumator are obiective bine stabilite:
  
• 
  maximizare utilităţii 頽 condiţiile unui venit dat sau
  
• 
  minimizarea cheltuielilor 頽 condiţiile unui prag de utilitate prestabilit ce determină un anumit program (o anumită structură) de consum
  
• 
  Agentul consumator este raţional
  
• 
  Agentul consumator este solvabil
  
• 
  Bunurile ce fac obiectul alegerii sunt infinit divizibile
  

Relaţia dintre cantităţile de bunuri consumate şi utilitatea obţinută de consumator este dată de o anumită funcţie de utilitate. Funcţia de utilitate este definită astfel: , , unde reprezintă cantitatea consumată din bunul i.

Proprietăţile funcţiilor de utilitate:

1. 
   Continue¹, crescătoare – utilitatea creşte pe măsură ce consumul creşte²
   
2. 
   Derivabile de ordinul 2
   
3. 
   Funcţii concave (Matricea hessiană este negativ definită) – fiecare unitate consumată dintr-un anumit bun aduce o utilitate marginală mai mică dec鈚 unitatea precedentă
   

Pentru ca matricea hessiană să fie negativ definită minorii trebuie să fie alternativ negativi şi pozitivi:


1.1. Rezolvarea problemei de optim pe caz general
Problema consumatorului: Consumatorul doreşte să îşi maximizeze utilitatea generată de consumarea setului de bunuri , fără a depăşi 頽să venitul pe care 頻 are la dispoziţie V.
Rezultatul rezolvării problemei consumatorului: consumatorul determină ce cantitate să consume din fiecare bun de pe piaţă (adică determină funcţia sa de cerere pentru fiecare bun 頽 parte) şi utilitatea maximă pe care o poate obţine.
A. Formularea matematică a problemei:

Problema consumatorului este o problemă de optimizare cu o restricţie care se rezolvă prin metoda Kuhn-Tucker. Prima etapă a acestei metode este construirea funcţiei de tip Lagrange.

B. Construirea Lagrangeanului: asigură transformarea problemei de maximizare cu o restricţie ce avea n parametrii 頽tr-o problemă de maximizare fără restricţii dar cu n+1 parametrii.


După construirea Lagrangeanului, condiţiile de optim se obţin prin egalarea primei derivate a acesteia cu 0³:

Folosind egalitatea (1), se substituie toate cantităţile q₂, …, q_n 頽 funcţie de q₁ 頽 relaţia (2). Din relaţia (2) se obţine o formulă pentru q₁ 頽 funcţie de preţuri şi de venit. Av鈔d relaţia pentru q₁ se foloseşte din nou egalitatea (1) pentru a obţine formule pentru toate cantităţile:

Aceste funcţii de cerere sunt de tip Marshall, sau funcţii de cerere necompensate.
蝞locuind aceste cantităţi optime obţinute mai sus 頽 funcţia de utilitate vom determina utilitatea maximă pe care o poate obţine consumatorul 頽 condiţiile venitului curent pe care 頻 obţine şi 頽 condiţiile preţurilor actuale de pe piaţă.

Această utilitate maximă ce se poate obţine se numeşte şi funcţie de utilitate indirectă şi se notează cu Z.
Proprietăţile funcţiei de utilitate indirectă - Z

1. 
   este o funcţie descrescătoare 頽 raport cu p
   
2. 
   este o funcţie crescătoare 頽 raport cu V
   
3. 
   este o funcţie omogenă de grad 0 頽 raport cu p şi V
   
4. 
   este o funcţie continuă
   

1.2. Concepte şi definiţii uzuale
a. Elasticitatea unei funcţii faţă de o variabilă
Mod de calcul:

. Pentru modificări foarte mici ale variabilei, adică , raportul poate fi aproximat cu derivata funcţiei faţă de variabila adică elasticitatea devine egală cu: (3)

Elasticitatea măsoară variaţia relativă a funcţiei f la o variaţie relativă a variabilei x.

Consider鈔d că f o funcţie de cerere, există mai multe tipuri de elasticităţi :
Elasticitatea cererii faţă de preţ – directă
Bunuri cu cerere elastică (elasticitatea negativă – bunuri normale; pozitivă – bunuri Giffen)

Bunuri cu elasticitate unitară

Bunuri cu cerere inelastică

Elasticitatea cererii faţă de preţ – 頽crucişată

Bunuri substituibile

Bunuri complementare
Elasticitatea cererii faţă de venit

Bunuri inferioare

Bunuri normale
Bunuri superioare

b. Rata marginală de substituţie reprezintă cantitatea din bunul i necesară substituirii unei unităţi din bunul j astfel 頽c鈚 utilitatea să răm鈔ă constantă.
(4)
Demonstraţie: Aplic鈔d diferenţiala totală asupra funcţiei de utilitate obţinem :

Deoarece doar cantităţile i şi j se modifică, avem :

c. Funcţii omogene de grad n
O funcţie este omogenă de grad n dacă :


Dacă este omogenă de grad n, se verifică următoarea relaţie :

(relaţia lui Euler)
蝝părţind 頽treaga relaţie cu f obţinem :


Funcţiile de cerere sunt omogene de gradul 0 頽 p şi V (unde p este vectorul preţurilor:

p = (p₁, p₂, …, p_n). Ca urmare, relaţia (5) se rescrie ca:

. Dacă preţurile şi veniturile se modifică 頽 aceeaşi măsură, programul de consum răm鈔e neschimbat, ceea ce 頽seamnă că agenţii consumatori nu au iluzie monetară.
d. Semnificaţia economică a lui λ
Aplic鈔d diferenţiala totală asupra funcţiei de utilitate dar şi asupra restricţiei de buget obţinem :

(6)

(7)
Se folosesc rezultatele derivării Lagrangeanului

care se introduc 頽 (3). Se observă că, 頽 urma substituţiei, diferenţiala totală a funcţiei de utilitate egalează dV – din (4) – iar relaţia (3) se poate rescrie astfel:

(8)
Þ λ reprezintă utilitatea marginală a venitului (creşterea utilităţii la o creştere cu o unitate a venitului).

e. Tipuri de funcţii de utilitate

Cobb – Douglas (1928, propusă de Wicksell⁴)

CES (Constant Elasticity of Substitution).

(Arrow, Chenery, Minhas, and Solow, 1961)

De obicei a + b = 1.

Bernoulli (sec. XVII – XVIII)

1.3. Rezolvarea problemei duale de optim pe caz general
a. Formularea matematică a problemei duale: Consumatorul doreşte să îşi minimizeze cheltuielile generate de cumpărarea setului de bunuri 頽 condiţiile obţinerii unei utilităţi cel puţin egale cu o utilitate considerată ţintă u.

Problema de optim se rezolvă tot prin metoda Kuhn-Tucker, iar prima etapă constă tot 頽 construirea funcţiei de tip Lagrange:

După construirea Lagrangeanului condiţiile de optim se scriu astfel :


După obţinerea relaţiilor 頽tre cantităţi, acestea se introduc 頽 ultima ecuaţie obţin鈔du-se cantităţile q₁,q₂,...,q_n doar funcţie de preţuri şi utilitate.


Aceste funcţii de cerere sunt de tip Hicks, sau funcţii de cerere compensate.
蝞locuind cantităţile optime consumate 頽 funcţia de cheltuieli se obţine nivelul minim al cheltuielilor care poate fi obţinut 頽 condiţiile obţinerii unei utilităţi egale cu şi 頽 condiţiile preţurilor existente pe piaţă. e se numeşte funcţia de cheltuieli minime.


Proprietăţile funcţiei e

1. 
   este o funcţie crescătoare 頽 raport cu p
   
2. 
   este o funcţie omogenă de grad 1 頽 raport cu p
   
3. 
   este o funcţie continuă
   

1.4. Legătura dintre problema consumatorului şi duala sa - Relaţii fundamentale
a. Lema lui Shephard (1953)⁵: 蝞tre funcţia e şi funcţiile de cerere de tip Hicks există următoarea relaţie.



b. Relaţii 頽tre funcţiile Z şi e
蝞tre funcţiile Z şi e există următoarele relaţii :

(1.4.b.1) utilitatea maximă ce poate fi obţinută cu costuri minime este chiar pragul minim de utilitate ales

(1.4.b.2) cheltuielile minime necesare pentru a obţine utilitatea maximă posibil a fi obţinută reprezintă 頽treg venitul disponibil

(1.4.b.3) cerea de tip Marshall (f) este egală cu cererea de tip Hicks (h) 頽 condiţiile 頽 care utilitatea căutată este cea maximă posibilă

(1.4.b.4) cererea de tip Hicks este egală cu cererea de tip Marshall 頽 condiţiile efectuării unor cheltuieli minime
este vectorul de preţuri

b. Identitatea lui Roy
Identitatea lui Roy face legătura 頽tre cerere, utilitatea optimă, preţ şi venit.


Demonstraţie:

Relaţia de buget se rescrie 頽 funcţie de f_j


Deriv鈔d ambii membri 頽 funcţie de p_i se obţine:


蝞locuind (10) 頽 (9) se ajunge la :


Deriv鈔d 頽 funcţie de V:


şi deriv鈔d relaţia de buget 頽 funcţie de V se obţine:


蝞locuind (13) 頽 (12) se ajunge la :


蝝părţind (11) la (14) se obţine identitatea lui Roy:




c. Ecuaţia lui Slutsky
Ecuaţia lui Slutsky descompune efectul modificării preţurilor asupra cererii pe două componente : efectul de venit şi efectul de substituţie.

Pentru clarificare să presupunem că preţul bunului 1 creşte. Cum reacţionează consumatorul?

i) îşi reduce consumul din bunul 1, dar pentru a păstra acelaşi nivel de utilitate îşi măreşte consumul dintr-un alt bun care devine mai ieftin 頽 comparaţie cu bunul 1– efect de substituţie.

ii) creşterea preţului bunului 1 頸 reduce consumatorului venitul real, restricţia bugetară se mută paralel cu cea iniţială 頽să la un al nivel de utilitate – efect de venit.

Demonstraţie:

蝞 relaţia se derivează ambii termeni funcţie de p_i :

Folosind lema lui Shephard pentru şi trec鈔d termenul 頽 membrul st鈔g, se obţine ecuaţia lui Slutsky:



1.5. Aplicaţii
1. Fie funcţia de utilitate

şi restricţia bugetară

Cerinţe:

1. 
   verificaţi proprietăţile funcţiei de utilitate
   
2. 
   găsiţi funcţiile de cerere de tip Marshall
   
3. 
   verificaţi dacă acestea sunt omogene de grad 0 頽 preţuri şi venituri
   
4. 
   calculaţi elasticităţile 頽 funcţie de preţ şi venit
   
5. 
   verificaţi proprietăţile funcţiilor omogene
   

Rezolvare:

a) Faptul că funcţia U este continuă este evident. Mai trebuie să punem condiţia ca funcţia U să fie crescătoare şi concavă.

Funcţia U este crescătoare dacă derivatele parţiale ale funcţiei sunt pozitive şi .

Pentru a stabili dacă funcţia este concavă, determinăm matricea Hessiană:

Minorul de ordinul 1

Minorul de ordinul 2

蝞 concluzie, U este funcţie de utilitate doar dacă .

b) pentru a determina funcţiile de tip Marshall, vom rezolva problema de optim a consumatorului.

Problema de optim:



Funcţia tip Lagrange:



Condiţiile de optim:


蝝părţind relaţia (2) la (1) obţinem:

蝞locuind relaţia (4) 頽 (3) vom obţine funcţia de cerere Marshall pentru bunul 2:

.

蝞locuind relaţia (5) 頽 (4) vom obţine funcţia de cerere Marshall pentru bunul 1: .

c) funcţie omogenă de grad 0.

d)

e)

2. Aceleaşi cerinţe pentru următoarele funcţii de utilitate:

a.

b.
c.
d.
e.
3. Pentru fiecare din funcţiile de utilitate de mai sus, fie problema duală de optim

Cerinţe:

1. 
   funcţiile de cerere de tip Hicks – verificaţi dacă sunt omogene de grad 0 頽 preţuri
   
2. 
   construiţi funcţia Z – verificaţi dacă este omogenă de grad 0 頽 raport cu p şi V
   
3. 
   construiţi funcţia e – verificaţi dacă este omogenă de grad 1 頽 raport cu p
   
4. 
   verificaţi identitatea lui Roy şi ecuaţia lui Slutsky
   

Rezolvare:

a)

Problema de optim:


Funcţia tip Lagrange:



Condiţiile de optim:

蝝părţind relaţia (2) la (1) obţinem:

蝞locuind relaţia (4) 頽 (3) vom obţine funcţia de cerere Hicks pentru bunul 2:

.

蝞locuind relaţia (5) 頽 (4) vom obţine funcţia de cerere Marshall pentru bunul 1: .

Demonstrăm că funcţia Hicks este omogenă de gradul 0 頽 preţuri, ceea ce 頽seamnă conform definiţiei funcţiilor omogene:

b) funcţia Z (funcţia de utilitate indirectă) reprezintă utilitatea maximă ce poate fi atinsă 頽 condiţiile 頽cadrării 頽 venitul disponibil V. Deci Z se obţine 頽locuind 頽 funcţia de utilitate cantităţile cu valorile lor optime, adică cu funcţiile de cerere Marshall:

Z este omogenă de grad 0 頽 raport cu p şi V dacă şi numai dacă

c) e reprezintă cheltuielile minime ce pot fi realizate 頽 condiţiile obţinerii unei utilităţi egale cu u. Deci e se obţine 頽locuind 頽 funcţia de cheltuieli cantităţile cu valorile lor optime, adică cu funcţiile de cerere Hicks:

Funcţia e este omogenă de grad 1 頽 raport cu p dacă şi numai dacă:

4. Se consideră funcţia de utilitate cu restricţia de buget unde L=munca prestată (ore lucrate), w=salariul, p=preţul bunurilor şi serviciilor, C=cantitatea de bunuri şi servicii consumate. Să se determine:

a) cererea de tip Marshall;

b) funcţia de utilitate indirectă.

Rezolvare:

a) Problema de optim:

Funcţia de tip Lagrange



Condiţiile de optim:

蝝părţim relaţia (2) la (1):

蝞locuind relaţia (4) 頽 restricţie (relaţia (3)) obţinem: .

Pentru a obţine numărul de ore lucrate optim 頽locuim consumul optim 頽 relaţia 4:

.



5. Un consumator are funcţia de cheltuieli minime egală cu .

a) cum se modifică venitul minim necesar pentru a atinge o utilitate U dacă preţurile cresc cu 10%. Explicaţie.

b) să se determine funcţia de utilitate indirectă

c) să se determine funcţiile de cerere Marshall

d) să se determine funcţiile de cerere Hicks

e) să se determine funcţia de utilitate a consumatorului .

Rezolvare:

a) Faptul că preţurile cresc cu 10% se scrie şi . De aici funcţia de cheltuieli minime se modifică astfel:

Acest lucru 頽seamnă că atunci c鈔d preţurile cresc cu 10 % şi cheltuielile minime cresc cu 10%, deci şi veniturile minime pentru a obţine o utilitate u trebuie să crească tot cu 10%!

b) se foloseşte identitatea:

! Punctele c şi d se pot rezolva prin 2 metode:

- se aplică identitatea lui Roy pt a determina funcţiile Marshall şi pentru funcţiile Hicks se utilizează identitatea

-se aplică lema lui Shepard pentru a determina funcţiile Hicks şi pentru funcţiile Marshall se utilizează identitatea

Să urmăm prima metodă.

c) Scriem identitatea lui Roy pentru funcţiile Marshall

Analog pentru cealaltă funcţie Marshall

d) folosim relaţia

Analog

6. Funcţia de utilitate a unui consumator este , iar venitul său este egal cu V. Ştiind că preţurile celor două bunuri sunt , respectiv se cere:

i) funcţiile de cerere pentru bunurile 1 şi 2 care asigură maximizarea utilităţii consumatorului.

ii) să se precizeze cu c鈚 se modifică cantitatea optimă consumată dacă:

1. Venitul creşte cu 20%, 2. preţurile scad simultan cu 20%, 3. at鈚 venitul c鈚 şi preţurile cresc cu 20%, 4. elasticităţile şi cresc cu c鈚e 10%.

iii) să se determine cantităţile optime consumate dacă V=5000
7. Un consumator poate achiziţiona două bunuri, 頽 cantitaţile q1 şi respectiv q2. Preţul unitar al primului bun este egal cu 3, iar preţul celui de al doilea este egal cu 2. Preferinţele consumatorului sunt reprezentate prin funcţia de utilitate:

Se cere:

a. Funcţiile de cerere Marshall pentru cele două bunuri dacă consumatorul obţine un venit egal cu V.

b. Cu c鈚 se modifică utilitatea maximă obţinută de consumator dacă venitul creşte cu o unitate monetară?

c. Determinaţi funcţia de utilitate indirectă (funcţia de utilitate maximă).
8. 蝞tr-o economie există N+M consumatori (fiecare consumator are un venit egal cu V) şi două bunuri ale căror preţuri sunt 頽 prezent şi . N consumatori sunt caracterizaţi de o funcţie de utilitate egală cu , iar M consumatori sunt caracterizaţi de o funcţie de utilitate egală cu , unde reprezintă cantitatea consumată din bunul 1, iar reprezintă cantitatea consumată din bunul 2. Să se determine:

a) funcţiile de cerere agregată (la nivelul 頽tregii economii) pentru bunurile 1 şi 2;

b) cu c鈚 se modifică cantitatea cerută din cele două bunuri dacă preţul lor creşte cu 10%?
Rezultate:

a)Funcţiile Marshall pentru agenţii cu funcţia de utilitate

Funcţiile Marshall pentru agenţii cu funcţia de utilitate

Funcţiile de cerere agregate

b) se calculează elasticitatea lui şi faţă de şi . Se obţine -1 ceea ce 頽seamnă că cantitatea cerută din ambele bunuri scade cu 10%.

9. Fie următoarea funcţie de utilitate a consumatorului:

unde q1, q2 reprezintă cantităţile consumate din bunul 1, respectiv bunul 2 iar vectorul de preţuri unitare este p = (1,1) . Se ştie că venitul de care dispune consumatorul este V=12 u.m.

a) Să se arate dacă funcţia este sau nu concavă;

b) Să se determine cererea Hicks pentru un nivel dat al utilităţii, u=k > 0 ;

c) Dacă funcţia de utilitate indirectă este :

, să se deducă funcţia de cerere Marshall pentru bunul 1.
10. Se consideră o gospodărie ale cărei preferinţe asupra perechilor (C,H) consum, respectiv timp liber, sunt reprezentate prin funcţia de utilitate următoare:

(timp liber, H şi timp de lucru, L ). Singurul venit de care dispune gospodăria este constituit din salariu cu o rată brută w, şi care este taxat cu o rată de impozitare θ , 0<θ <1. Gospodăria dispune deci de un venit egal cu (1-θ )wL. Preţul bunului de consum este egal cu p.

Se cere:

a) Determinaţi oferta de muncă a gospodăriei (L) şi funcţia de cerere pentru bunuri de consum (C) . Comentaţi relaţia existentă 頽tre aceste funcţii şi parametrii w şi θ .

b) Să se deducă rata marginală de substituţie dintre timpul liber şi muncă. Să se interpreteze rezultatele obţinute.
11. Se consideră o gospodărie ale cărei preferinţe asupra perechilor (C,R) consum, respectiv timp liber, sunt reprezentate prin funcţia de utilitate următoare:

Timpul total, T, (timp liber, R şi timp de lucru, L ) este presupus egal cu 4. Singurul venit de care dispune gospodăria este constituit din salariu cu o rată brută w, w > 1/4 şi care este taxat cu o rată de impozitare θ , 0<θ <1. Gospodăria dispune deci de un venit egal cu (1-θ )wL. Preţul bunului de consum este egal cu unitatea.

Se cere: a) Determinaţi oferta de munca (L) şi funcţia de cerere de bunuri şi servicii (C ) a gospodăriei. Comentaţi relaţia existentă 頽tre aceste oferte şi parametrii w şi θ , dacă restricţia bugetară a gospodăriei se scrie: pC=(1-θ )wL.

b) Se presupune că w=1. Care este suma totală a impozitului plătit?
12. Se consideră un consumator ce dispune de un venit V, strict pozitiv, pentru a cumpăra două bunuri notate q1 şi q2. Preţurile celor două bunuri, p1 şi p2, sunt presupuse strict pozitive. Preferinţele consumatorului sunt reprezentate prin funcţiile de utilitate, unde q1 şi q2 sunt cantităţile consumate din cele două bunuri. Venitul acestuia este de 12 u.m. iar vectorul de preţuri este

p =(2 1).
Se cere: a) Să se determine cererea Marshall din cele două bunuri;

b) Dacă p2 şi V sunt constante iar p1 scade cu o unitate, să se determine natura bunului 1;

c) Dacă p1 şi p2 răm鈔 constante iar venitul creşte la 16 u.m., să se determine natura bunurilor.
2. Comportamentul optim al agentului consumator - modelul dinamic
Exemplul 1:
Se consideră că agenţii economici consumatori determină cantitatea pe care o vor consuma dintr-un coş de bunuri at鈚 頽 momentul prezent (notat cu 1) şi 頽tr-un moment viitor (notat cu 2), precum şi economiile pe care le vor face 頽 prezent. Funcţia de utilitate are următoarea formă :


unde U(C_i) reprezintă utilitatea adusă de consumul C_i. C_i este consumul agregat din perioada i. δ reprezintă o rată de actualizare subiectivă a utilităţii viitoare şi are o valoare pozitivă. Cu c鈚 δ este mai mic, cu at鈚 consumatorul acordă o importanţă mai mare consumului din a doua perioadă.

Consumatorii ţin cont de veniturile pe care le obţin 頽 fiecare moment de timp şi de nivelul preţurilor asociat acelui coş de bunuri. Acestea sunt variabile pe care nu le poate influenţa. Ca urmare, consumatorii au c鈚e o restricţie bugetară pentru fiecare moment:

unde E - economii ; r - rata nominală a dob鈔zii. Deoarece veniturile sunt exogene, 頽 momentul curent consumatorii au de făcut următoarea alegere: să consume mai mult şi, ca urmare, să facă economii mai mici ceea ce 頸 va reduce consumul viitor sau să mai mult şi, ca urmare, să facă economii mai mari ceea ce 頸 va creşte consumul viitor. Consumatorii pot folosi mai mult dec顃 ceea ce le permite venitul curent dacă aplează la credite, adică 頽 prezent nu fac economii ci se 頼prumută .

Fie funcţia de utilitate :

Se cere:

1. 
   Stabiliţi 頽 ce condiţii consumul prezent este mai mare dec鈚 consumul viitor ( )?
   
2. 
   Calculaţi şi .
   
3. 
   Calculaţi economiile realizate şi stabiliţi condiţiile necesare pentru ca E1>0.
   
4. 
   Ce efect are asupra consumului curent o creştere a ratei dob鈔zii nominale?
   

1. 
   
   

Matematic, problema dinamică de optim a consumatorului se scrie astfel:

Modul de rezolvare al problemei de optim ar trebui să fie acelaşi ca şi 頽 cazul modelului consumatorului static numai că 頽 acest caz avem două restricţii bugetare. Avem două opţiuni: i) putem folosi doi multiplicatori Lagrange sau ii) putem transforma cele două restricţii 頽 una singură şi astfel să folosim un singur multiplicator Lagrange ca şi 頽 cazul problemei statice.

Alegem varianta ii):

蝞 acest fel, problema de optim a consumatorului devine:

O vom rezolva ca şi 頽 cazul consumatorului static:

Condiţii de optim :

(2):(1) , unde π este rata inflaţiei, i este rata reală a dob鈔zii

蝞 cele de mai sus am folosit faptul că raportul a doi indici de preţuri este 1+ rata inflaţiei adică şi relaţia lui Fisher pentru legătura dintre rata nominală de dob鈔dă şi rata reală, adică . S-a notat cu c ritmul de creştere al consumului.

Din relaţia 4 se pot trage următoarele concluzii:

dacă i>δ => rata dob鈔zii mai mare dec鈚 coeficientul de actualizare al utilităţii conduce la o scădere a consumului 頽 prima perioadă şi la translatarea acestuia 頽 a doua perioadă. Consumatorul preferă să economisească 頽 prima perioadă o parte din venitul V1 şi să o aloce consumului din a doua perioadă => C₂>C₁

dacă i=δ => C₂=C₁

dacă i<δ => C₂1
b) 蝞locuind 頽 restricţia de buget relaţia (4) dintre consumurile din cele 2 perioade se ajunge la :

,

c) Introduc鈔d 頽 prima restricţie de buget rezultatele anterioare se obţine valoarea economiilor:

E₁>0 este echivalent cu:

unde v este ritmul de crestere al veniturilor.

Folosind relaţia (4) de mai sus obţinem: . Consumatorii fac economii dacă ritmul de creştere a consumului este mai mare dec鈚 ritmul de creştere al veniturilor, adică fac economii pentru a-şi susţine consumul viitor. Desigur E₁ 0, adică consumatorii aplează la credite dacă - ritmul de creştere al consumului este mai mic dec鈚 ritmul de creştere al venitului.

d) pentru a răspunde la această 頽trebare vom determina senzitivitatea consumului curent la modificarea ratei dobănzii adică vom calcula , adică relaţia dintre consumul curent şi rata dob鈔zii este negativă. Cum se poate explica economic acest rezultat? Să presupunem că rata dob鈔zii creşte, consumatorii vor prefera să economisească 頽 prezent. Cum venitul din perioada curentă este fixat, consumatorii nu au altă soluţie dec鈚 să îşi reducă consumul.
Exemplul 2:
Considerăm că agenţii economici consumatori au un orizont de previziune de 2 perioade, iar funcţia de utilitate are următoarea formă :

unde l₁ este timpul lucrat 頽 prima perioadă, iar l₂ este timpul lucrat 頽 cea de-a doua perioadă. Timpul lucrat este exprimat ca o fracţiune din timpul total (1 sau 100%). Ca urmare, 1-l_i reprezintă timpul liber din perioada i.

Se observă că utilitatea consumatorului depinde at鈚 de cantitatea consumată din coşul de bunuri c鈚 şi de timpul liber de care dispun consumatorii. Restricţia bugetară va evidenţia faptul că, 頽 această problemă, consumatorii nu au de ales numai 頽tre c鈚 să consume 頽 prezent şi c鈚 să consume 頽 viitor, dar au de ales pentru fiecare moment de timpul liber pe care 頻 doresc. Cu c鈚 au mai mult timp liber, utilitatea lor creşte, dar muncind mai puţin veniturile se diminuează şi au la dispoziţie o sumă mai mică destinată consumului. Pe scurt, restricţiile bugetare se scriu astfel:


w₁ şi w₂ reprezintă salariile pe care agenţii consumatori le-ar câştiga dacă ar munci 頽treg timpul disponibil. Deoarece ei optează să muncească doar o fracţiune din timpul total (l₁ şi, respectiv, l₂) veniturile 頽casate de ei sunt w₁l₁ şi respectiv w₂ l₂.
Pentru funcţia de utilitate se cere:

1. 
   Determinaţi C₁, C₂
   
2. 
   Calculaţi E₁ şi stabiliţi condiţiile necesare pentru ca E₁>0
   

a)

Matematic problema de optim se scrie:

Transformăm cele două restricţii bugetare 頽 una singură:


蝞 aceste condiţii problema de optim devine:


Se scrie Lagrangeanul:

Prin derivare se obţin condiţiile de optim:

蝝părţind (12) la (13) şi (14) la (15) se obţin:

(17) şi

(18)
蝝părţind (12) la (14) rezultă

(19)

蝞locuind C₂, l₂ şi l₁ din (17), (18) şi (19) 頽 (16) se obţin C₁ şi C₂:

,

Probleme propuse

1. Refaceţi exemplul 1 pentru cazul 頽 care funcţia de utilitate este .
2. Pentru modelul dinamic al consumatorului se cunoaşte funcţia de utilitate intertemporală: , rata nominală a dob鈔zii este r, rata inflaţiei este , iar rata de creştere a veniturilor este egală cu . Se cere:

a) să se exprime indicele de creştere a consumului optim 頽 funcţie de rata reală de dob鈔dă şi de elasticitatea funcţiei de utilitate.

b) să se stabilească volumul optim al economiilor.

c) să se discute semnul volumului optim al economiilor 頽 funcţie de parametrii modelului. Interpretare economică.

3. Se cunoaşte faptul că utilitatea individului consumator este modelat prin funcţia de utilitate CRRA : , venitul disponibil al consumatorului 頽 cele două perioade este V₀, respectiv V₁. Preţul bunurilor care fac obiectul consumului sunt p₁, respectiv p₂. Individul consumă cantiatea C₀ 頽 momentul 0 şi C₁ 頽 momentul 1, iar 頽 momentul 1 face economii 頽 valoare de E.

Cunosc鈔d faptul că aversiunea relativă la risc a individului consummator este :

a) Să se descrie problema de optimizare intertemporală şi să se deducă funcţiile de cerere pentru bunuri şi servicii 頽 momentele 0 şi 1.

b) Să se studieze semnul economiilor.

4. Agenţii consumatori din economie îşi fundamentează consumul de bunuri perisabile (Cp) şi consumul de bunuri duarbile (Cd) pentru momentul prezent (notat cu 1) şi momentul viitor (notat cu 2). Funcţia de utilitate intertemporală este dată de:

Restricţiile consumatorului 頽 cele două perioade sunt:

Unde este preţul bunurilor perisabile, iar este preţul bunurilor durabile. Restul variabilelor au notaţiile consacrate. Să se determine:

a) consumul de bunuri perisabile şi durabile din fiecare perioada;

b) economiile făcute de consumatori;

c) care este efectul modificării ratei dob鈔zii asupra economiilor?
5. Considerăm un consumator care trăieşte două perioade, perioada 0 şi perioada 1. Utilitatea lui este dată de funcţia:

Unde C este cantitatea consumată dintr-un coş de bunuri, iar l este munca depusă de consumator. Restricţiile bugetare 頽 cele două perioade sunt:

Unde p este indicele preţurilor pentru coşul de bunuri, w este salariul real, iar S economiile.

1. 
   蝞 ce condiţii consumul şi munca sunt staţionare ( )?
   
2. 
   Se ştie că . Să se determine consumul şi munca 頽 cele două perioade şi economiile.
   

6. Se consideră următorul model dinamic pentru consumator:

Se consideră că inflaţia anticipată este constantă şi egală cu . De asemenea, rata de creştere a venitului este constantă şi egală cu v.

a) să se determine restricţia de buget intertemporală;

b) să se determine condiţia de optim intertemporală. 蝞 ce condiţii consumul este staţionar?

?

c) 頽 condiţiile 頽 care consumul este staţionar să se determine şi . Discuţie.

d) să se determine traiectoria optimă a consumului .

R:

a)

b)

c)

3. Extensii ale modelului dinamic al consumatorului –perioadă infinită

1. 
   Se consideră următorul model al consumatorului pe orizont de timp infinit:
   

Restricţia bugetară a consumatorului este următoarea:

Unde este nivelul preţurilor, este nivelul consumului, reprezintă volumul economiilor realizate sub forma cumpărării de obligaţiuni, salariul nominal, este munca depusă, este rata nominală a dob鈔zii, iar este un factor de discount subiectiv ce se poate scrie şi sub forma .

Ştiind că funcţia de utilitate are următoarea formă:

să se determine:

1. 
   O relaţie de recurenţă pentru nivelul consumului. Să se stabilească 頽 ce condiţii consumul este crescător ( ), descrescător ( ), staţionar ( ).
   
2. 
   O relaţie de recurenţă pentru timpul liber. Să se stabilească 頽 ce condiţii timpul liber este crescător ( ), descrescător ( ), staţionar ( ).
   
3. 
   Dacă rata reală a dob鈔zii este constantă ( ), să se calculeze .
   
4. 
   Dacă rata de creştere a venitului real este constantă ( ) şi rata reală a dob鈔zii este constantă ( ), să se calculeze .
   

Rezolvare:

1. 
   Problema consumatorului pe orizont infinit poate fi rezumată astfel:
   

蝞ainte de a forma Lagrangean-ul şi de a pune condiţiile de ordinul I, vom transforma restricţia astfel 頽c鈚 ea să fie exprimată 頽 variabile reale – vom 頼părţi prin nivelul preţurilor la momentul t:

蝞 cele de mai sus am notat cu valoarea reală a economiilor, cu salariul real, iar cu rata reală a dob鈔zii.

Formăm Lagrangean-ul modificat pentru orizont infinit:


Punem condiţiile de ordinul I deriv鈔d Lagrangean-ul 頽 toate argumentele sale:

1. 
   scriem relaţia (1) la momentul t şi la momentul t+1 şi 頼părţim cele 2 relaţii:
   

Am folosit relaţia (2) de mai sus.

蝞 aceste condiţii:

-consumul este staţionar dacă

-consumul este crescător dacă

-consumul este descrescător dacă

Pentru a determina relaţia de recurenţă scriem relaţia (5) pentru :

蝞mulţind relaţiile de mai sus membru cu membru obţinem relaţia de recurenţă a consumului:

1. 
   scriem relaţia (3) la momentul t şi la momentul t+1 şi 頼părţim cele 2 relaţii:
   

Am folosit relaţia (2) de mai sus şi am notat rata de creştere a veniturilor reale

Dar din relaţia (5) ştim că . Am notat rata de creştere a consumului cu .

蝞 aceste condiţii:

-timpul liber este staţionar dacă , adică rata de creştere a consumului este aceeaşi cu rata de creştere a venitului real;

-timpul liber este crescător dacă

-timpul liber este descrescător dacă

Pentru a determina realaţia de recurenţă pentru timpul liber se foloseşte relaţia (6) rescrisă astfel:

Pentru a determina relaţia de recurenţă scriem relaţia de mai sus pentru :

蝞mulţim relaţiile membru cu membru şi obţinem:

c) 頽 relaţia de recurenţă a consumului se 頽locuieşte şi se obţine

. Putem calcula limita astfel:


d)

Dacă rata de creştere a venitului real este constantă ( ) şi rata reală a dob鈔zii este constantă ( ) atunci relaţia (8) devine:

. Putem calcula limita astfel:

1. 
   Se consideră următorul model al consumatorului pe orizont de timp infinit:
   

Restricţia bugetară a consumatorului este următoarea:

unde reprezintă cantitatea de avere păstrată sub forma numerarului, iar reprezintă masa monetară exprimată 頽 termeni reali, .

Ştiind că funcţia de utilitate are următoarea formă:

Să se răspundă la următoarele cerinţe:

1. 
   Să se scrie restricţia bugetară în termeni reali (se notează cu valoarea reală a economiilor deţinute sub formă de obligaţiuni şi cu salariul real. În cazul în care prin se măsoară indicele preţurilor de la începutul perioadei t, sfârşitul perioadei t-1, ).
   
2. 
   Să se arate că elasticitatea utilităţii marginale a consumului este constantă şi să se interpreteze rezultatul în raport cu atitudinea consumatorului faţă de risc.
   
3. 
   Să se arate că elasticitatea funcţiei de utilitate în raport cu timpul lucrat şi respectiv cu masa monetară reală depinde în mod direct de şi respectiv de .
   
4. 
   Să se determine ecuaţia de dinamică pentru consum;
   
5. 
   Ecuaţia de dinamică pentru timpul lucrat;
   
6. 
   Să se arate că între oferta de muncă şi consum există o legătură directă, iar relaţia dintre oferta de muncă şi masa monetară este, de asemenea, directă. Explicaţi.
   

Pentru cazul în care rata reală a dobânzii şi rata de creştere a venitului real sunt constante:

1. 
   Să se determine traiectoria de evoluţie a consumului ( în funcţie de );
   
2. 
   Să se determine traiectoria de evoluţie a timpului lucrat ( în funcţie de );
   
3. 
   În cazul în care singura destinaţie a PIB este consumul, să se determine şi să se interpreteze în cheie keynesistă ecuaţia de cerere de monedă.
   
4. 
   Să se verifice dacă regula de politică monetară este una de tip Friedman.
   

Rezolvare:

1. 
   Se împarte restricţia bugetară la indicele preţurilor , şi se obţine:
   

.

Dar

Analog,
Restricţia este deci următoarea:

.

1. 
   Utilitatea marginală a consumului la momentul t este: .
   

Elasticitatea unei funcţii în raport cu x are următoarea formulă:

.

Elasticitatea utilităţii marginale la momentul t în raport cu consumul este:

şi este constantă, .

Interpretarea acestei elasticităţi este următoarea: este egală cu aversiunea relativă la risc. Faptul că aceasta este constantă ne arată că indiferent de cantitatea consumată, agentul are aceeaşi atitudine faţă de risc.

1. 
   , unde .
   

, unde .

1. 
   Există două posibilităţi de a rezolva următoarele subpuncte ale problemei: pentru a forma Lagrangeanul, se poate obţine din toate restricţiile una singură, sau se poate introduce în Lagrangean fiecare restricţie de la fiecare moment în mod separat, cu un multiplicator ataşat. Vom prezenta în continuare a doua metodă, întrucât prima a fost discutată la seminar.
   

- )-…-

) -

-.....
Sau, altfel scris:

Funcţia obiectiv de la momentul t

Restricţia de la momentul t
Mai trebuie menţionat că .

Condiţiile de optim:

.

Dar este o necunoscută în această problemă, deci traiectoria consumului nu este identificată prin ecuaţia de mai sus.

Pentru a afla raportul folosim următoarea ecuaţie: .

Prin urmare,

1. 
   
   

1. 
   Pentru a evidenţia relaţia dintre şi vom folosi următoarele două ecuaţii: şi .
   

unde .

Pentru a evidenţia relaţia dintre şi vom folosi următoarele două ecuaţii: şi .

unde .

.

1. 
   ştim că .
   

În acest caz,


.

.

.

.

Prin inducţie:

1. 
   ştim că .
   

Dacă rata de creştere a venitului real (o putem nota cu ), este constantă. .

.

1. 
   În cazul extrem în care consumul este singura destinaţie a PIB, .
   

Vom utiliza următoarele ecuaţii: şi

Se observă că oferta reală de monedă depinde pozitiv de nivelul venitului şi negativ de rata dobânzii. În cazul în care nu se observă imediat realţia inversă între oferta reală de monedă şi rata dobânzii, trebuie verificat semnul următoarei derivate:

Relaţia confirmă teoria keynesistă conform căreia cererea de monedă (egală la echilibru cu oferta reală de monedă) este o funcţie crescătoare în raport cu venitul şi descrescătoare în raport cu rata dobânzii.

1. 
   Milton Friedman a propus ca regulă de politică monetară alegerea unei rate constante pentru creşterea masei monetare, ceea ce implica o atitudine pasivă a băncii centrale.
   

_{Rata de creştere a masei monetare se poate nota cu}

Regula Friedman

, .
Pentru a analiza raportul vom folosi următoarele ecuaţii şi :




<sub>Regula de politică monetară este de tip Friedman.


Întrebare: 蝞 cazul 頽 care rata inflaţiei este 5%, rata nominală este 7%, b=0.5, iar factorul de actualizare, =0.97, c鈚 este rata de creştere a masei monetare?






Rata de creştere a masei monetare este 2.58%.</sub>

1 Deoarece bunurile consumate sunt infinit divizibile, utilitatea poate fi considerată o funcţie continuă 頽 cantităţile consumate

2 蝞 ipoteza 頽 care agentul este raţional, el nu mai consumă un bun dacă acesta nu-i aduce o utilitate pozitivă

3 Punctele 頽 care prima derivată a unei funcţii se anulează sunt puncte critice. Dacă a doua derivată a funcţiei calculată 頽 punctul critic e pozitivă, punctul e un punct de minim; dacă a doua derivată e zero, este punct de inflexiune, iar dacă a doua derivată este negativă, punctul e punct de maxim.

4 Efectul Matei (propus de Stephen Stigler şi Robert Merton): multe din invenţiile sau rezultatele matematice celebre ce poartă numele celui ce le-a inventat/obţinut oficial au fost, de fapt, inventate sau obţinute de o altă persoană (după citatul biblic: 凜ăci cei ce au vor primi 頽 abundenţă, iar celui ce nu are i se va lua şi ceea ce a avut– Matei XXV:29 – sursa: Wikipedia)

5 Folosită deja de Hicks (1939) şi Samuleson (1947)