Contrainte au niveau du maillage

Contrainte au niveau du maillage

• Contrainte au niveau du maillage

• Raffiner autour du fond de fissure
• Remailler après propagation

• Taux de convergence médiocre (même en e.f. ou ) :

Amène de nouvelles contraintes :

• Amène de nouvelles contraintes :

• Coût de calcul et complexité raisonnables (En vue : intégration dans un code de calcul)

• La méthode doit être robuste même pour des plaques très minces (élancement = ).

Modèle sujet au verrouillage numérique (éléments sans verrouillage : QUAD 4, DKT-DKQ, MITC 4, mixtes…). Exemple de verrouillage :

• Modèle sujet au verrouillage numérique (éléments sans verrouillage : QUAD 4, DKT-DKQ, MITC 4, mixtes…). Exemple de verrouillage :

• XFEM Moës : MITC 4, singularités sans traitement

• => Nous pensons que ça produit aussi du verrouillage

Les fonctions singulières d’enrichissement doivent être exactes pour être efficaces :

• Les fonctions singulières d’enrichissement doivent être exactes pour être efficaces :

• Sous-intégration (QUAD 4) => perte de précision
• Kirchhoff discret (DKT) et Projection (MITC 4) => non-applicables pour des fonctions non-polynomiales
• Polynômes P2/3, Méthodes mixtes => trop coûteux en temps de calcul (contexte industriel)

• Aucun traitement n’est vraiment satisfaisant.

• Mettre au point un traitement valable pour les fonctions singulières nécessiterait un travail important.

Utilisation modèle sans verrouillage : Kirchhoff-Love

• Utilisation modèle sans verrouillage : Kirchhoff-Love

• Adapter les idées développées en élasticité 2D (cf. Ref).

• Objectifs à atteindre :

• Précision : même taux de convergence qu’un problème sans fissure (selon méthode).
• Coût de calcul : du même ordre que les éléments finis classiques.
• Implémentable dans un code de calcul industriel

PLAN

• PLAN

• Présentation du modèle de Kirchhoff-Love

• Caractéristiques du modèle
• Discrétisation
• Modes singuliers

• Formulation XFEM « standard »

• Cas-test et résultats numériques
• Problème en quadrangles

• Formulation XFEM « Raccord Intégral »

• Résultats numériques
• Application industrielle : calcul de facteurs d’intensité de contraintes (FIC)

Avantages :

• Avantages :

• Modèle précis pour plaque mince (limite du 3D quand e →0 )
• Pas de verrouillage numérique
• Singularités connues (modèle de bilaplacien)

• Pas de déformation de cisaillement transverse :

• Seule fonction inconnue :

• Contrainte : La discrétisation nécessite un élément fini

• éléments HCT/FVS réduits conviennent,
• avec coût de calcul raisonnable.

En domaine fissuré, la solution exacte s’écrit :

• En domaine fissuré, la solution exacte s’écrit :

Fonctions de base : polynômes par morceaux, dérivée normale réduite en sur le bord, et raccordées globalement .

• Fonctions de base : polynômes par morceaux, dérivée normale réduite en sur le bord, et raccordées globalement .

• 3 degrés de liberté par nœud : 1 déplacement + 2 dérivées (= Mindlin, donc coût raisonnable)

• Précision de l’élément (régularité requise : solution u dans )

• Norme H² : O(h) (théorique)
• Norme L² : O(h²) (observé)

Expression de l’inconnu :

• Expression de l’inconnu :

• Expression des enrichissements :

En cause : l’espace FVS réduit contient des fonctions nulles sur 2 sous-triangles, mais pas nulles globalement.

• En cause : l’espace FVS réduit contient des fonctions nulles sur 2 sous-triangles, mais pas nulles globalement.

• Pas de problème en triangle => changer les quadrangles en 2 triangles

Expressions des inconnues sur chaque sous-domaine :

• Expressions des inconnues sur chaque sous-domaine :

• Raccord intégral :

• Multiplicateurs approchés en

• Autre type de raccord possible ( seulement)

K1, K2 : Facteurs d’Intensité de Contraintes (FIC)

• K1, K2 : Facteurs d’Intensité de Contraintes (FIC)

• Grandeurs utilisées dans l’industrie comme critère de propagation (valeur critique)

• En principe : évalués par post-traitement (intégrales de contour)

• XFEM « Raccord Intégral  » :

• par identification des , on déduit les FIC

Méthode bien formulée :

• Méthode bien formulée :

• Précision optimale atteinte
• Coût de calcul supplémentaire marginal
• Conditionnement amélioré

• => Idées élasticité 2D ont pu être étendues au cas des plaques.

• Méthode compétitive et utilisable en contexte industriel

• Perspectives :

• Comparaison FIC avec intégrales de contour
• Recherche d’une approche pour Mindlin-Reissner

5 fonctions inconnues :

• 5 fonctions inconnues :

Les 5 fonctions inconnues, permettent de reconstituer le déplacement 3D (calcul 2D)

• Les 5 fonctions inconnues, permettent de reconstituer le déplacement 3D (calcul 2D)

• En homogène-isotrope, et sont découplés :

• = élasticité 2D (déjà bien traité)
• = flexion : le sujet d’intérêt.

• Pour Mindlin-Reissner :

• Modèle le plus utilisé dans l’industrie
• Discrétisation : problème de verrouillage numérique

Minimisation : Trouver

• Minimisation : Trouver

• e faible => prépondérance du terme de cisaillement transverse (pénalisation)

• =>

• Les éléments finis classiques représentent mal cette contrainte :

• Exemple en P1 :

Sous-intégration (QUAD 4)

• Sous-intégration (QUAD 4)

• Relations Kirchhoff discrètes (DST-DSK)

• Projection sur polynômes de degrès plus faible (MITC4)

• Polynomes P2, P3

• Méthodes mixtes

Les fonctions singulières d’enrichissement doivent être exactes pour être efficaces :

• Les fonctions singulières d’enrichissement doivent être exactes pour être efficaces :

• Sous-intégration => perte de précision
• Kirchhoff discret et Projection => non-applicables pour des fonctions non-poynomiales
• Polynomes P2/3, Méthodes mixtes => trop coûteux en temps de calcul (contexte industriel)

• Aucun traitement n’est vraiment satisfaisant.

• Mettre au point un traitement valable pour les fonctions singulières nécessiterait un travail important.

Travail important pour traiter efficacement le verrouillage numérique des enrichissements singuliers

• Travail important pour traiter efficacement le verrouillage numérique des enrichissements singuliers

• Perspectives :

• Évaluation plus précise de ce type de verrouillage
• Essais avec polynômes P2
• Formulation d’une stratégie mixte (séparation fonction de forme/enrichissements singuliers)

• Autre approche dans la thèse: utilisation d’un modèle de plaque sans verrouillage.