3. Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari Funksiyaning ekstremum tushunchasidan, biror oraliqda berilgan funksiyaning
shu oraliqda bir necha maksimum hamda bir necha minimum qiymatlarga ega bo‘lishi mumkinligi kelib chiqadi.
Aytaylik, f(x) funksiya [a; b] segmentda uzluksiz bo‘lsin. Bu funksiya Veyershtrass teoremasiga ko‘ra shu oraliqda o‘zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi. Bunday qiymatlar quyidagicha topiladi:
1) f(x) funksiyaning (a; b) dagi barcha maksimum qiymatlari hamda f(a) va f(b) qiymatlar ichida eng kattasi f(x) funksiyaning [a; b] dagi eng katta qiymati bo‘ladi,
2) f(x) funksiyaning (a; b) dagi barcha minimum qiymatlari hamda f(a) va f(b) qiymatlar ichida eng kichigi f(x) funksiyaning [a; b] dagi eng kichik qiymati bo‘ladi.
Misol. Ushbu
funksiyaning [-4; 4] segmentdagi eng katta va eng kichik qiymatlari topilsin. Bu funksiyaning (-4; 4) dagi maksimum va minimum qiymatlarini topamiz:
Berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini hisoblaymiz:
Demak funksiya x1 = -1 nuqtada maksimumga, x2 = 3 nuqtada minimumga ega bo‘lib, max f(x) = f(-1) = 40; min f(x) = f(3) = 8 bo‘ladi. Bu qiymatlarni f(-4) = -41; f(4) = 15 qiymatlar bilan solishtirib, berilgan funksiyaning [-4; 4] dagi eng katta qiymati 40; eng kichik qiymati esa -41 bo‘lishini topamiz.
4. Funksiya grafigining qavariqligi, botiqligi va egilish nuqtalarini topishda hosilaning tatbiqi Faraz qilaylik, f(x) funksiya (a; b) da hosilaga ega bo‘lsin. Unda funksiya grafigining har bir (x; f(x)) nuqtasidan o‘tuvchi urinma l(x) mavjud bo‘ladi
Bu chizmadan, (a; b) ning ba’zi qismida f(x) funksiya grafigi l(x) urinmadan yuqorida, ba’zi qismida esa l(x) urinmadan pastda joylashganini ko‘ramiz.
