Дискретная математика

Teorema Kantora:
Mnojestvo vseh deystvitelnyh chisel na otrezke [0;1] emas, balki schetnym.


Dokazatsiya
Dopustim eto mnozhestvo schetno izobrazim ego chisla desyatichnymi drobyami.

}



1
1-ya 0, a ₁₁ , a ₁₂ ....
2-ya 0, a ₂₁ , a ₂₂ ….
…………………….

Vozmem proizvolnoe chislo 0, b ₁ , b ₂ , b ₃

b ₁  a ₁₁ , b ₂  a ₂₂ , …
Eta drob ne mojet vyyti v posledovatelnost t.k. otlichaetsya ot vseh chisel, znachit nelzya pronumerovat chisla na otrezke [0;1].
Mnojestvo nechatno i nazyvaetsya tinualnym, a ego moschnost doimiy.

Metod, ispolzuemyy pri dokazatelstve, nazyvaetsya diagonalnym metodom Kantora.

Otnoshenie
Pust dano R M ⁿ – n mestnoe otnoshenie na mnojestvo M.
Budem izuchat dvuxmestnye yoki binarnye otnosheniya. Esli a i b nahodyatsya v otnoshenii R , to zapisyvaetsya a R b .
Provedem otnoshenie na mnojestvo N :
A) par (7,9) (7,7_) uchun otnoshenie vypolnyaetsya
B) (9,7) chiqmaydi.

Misol otnosheniya na mnojestvo R

A) otnoshenie naxoditsya na odinakovom rasstoyanii ot nachala koordinat vypolnyaetsya uchun par (3; 4) va (2; 21)
B) (3; 4) i (1; 6) yo'q.

Dlya qilishiya binarnyx otnosheniy mojno ispolzovat lyubye sposoby заданiya mojestv.

Dlya konechnyx mojestv foydalaniladi matrichnyy sposob заданiya mojestv.
Matritsa binarnogo otnosheniya na mnojestvo M ={1;2;3;4}, togda matritsa otnosheniya S ravna

Otnosheniem Ezannye edinichnoy matricey nazyvaetsya otnosheniem ravenstva.

Otnosheniem nazovetsya obratnym k otnosheniem R , aksincha a _j R _ai togda va tolko togda, kogda a _j R _ai oboznachayut R ^-1 .