Ekstremmumlar nazariyasining geometrya, mexanika va fizika masalalariga tadbiqlar

Funksiyalarning ekstremumlari


1-ta`rif. Agar funksiya biror nuqtada uzluksiz bo`lib, shu nuqtaning shunday atrofi mavjud bo`lsaki, u atrofning barcha nuqtalari uchun ushbu
(1)
tengsizlik bajarilsa, u holda nuqta ƒ(x) funksiyaning minimum nuqtasi deyiladi; ƒ( ) esa ƒ(x) funksiyaning minimumi deyiladi.
2-ta`rif. Agar ƒ(x) funksiya biror nuqtada uzluksiz bo`lib, shu nuqtaning shunday atrofi mavjud bo`lsaki, u atrofning barcha nuqtalari uchun ushbu
ƒ(x)<ƒ( ) (2)
tengsizlik bajarilsa, u holda nuqta ƒ(x) funksiyaning maksimum nuqtasi deyiladi; ƒ( ) esa ƒ(x) funksiyaning maksimumi deyiladi.
3-ta`rif. ƒ(x) funksiyaning minimum yoki maksimum nuqtalari uning ekstremum nuqtalari deyiladi, ƒ(x) funksiyaning minimumi yoki maksimumi uning ekstremumi deyiladi.
4-ta`rif. Agar ƒ(x) funksiya (a, b) intervalda aniqlangan va uzluksiz, x_o nuqta (a, b) intervalning (yoki [a, b] kesmaning [a, b) (a, b] yarim intervallarning) biror nuqtasi bo`lib, shu intervalning x_o dan farqli barcha nuqtalari uchun ushbu ƒ(x) <ƒ(x_o) tengsizlik bajarilsa, u holda ƒ(x_o) berilgan ƒ(x) funksiyaning (a, b) intervalda eng katta qiymati deyiladi; agar ƒ(x)>ƒ(x_o) tengsizlik bajarilsa, ƒ(x_o) berilgan ƒ(x) funksiyaning (a, b) intervalda eng kichik qiymati deyiladi.

Y

1

X

1

-1

0

1-chizma

2-chizma
Albatta ta`rifda keltirilgan tengsizliklarni (a, b) dan olingan barcha x nuqtalarda tekshirib chiqish hamma vaqt oson bo`lavermaydi. Ba`zi sodda funksiyalar uchun bu ta`rifga misollar ko`raylik.

1. 
   ƒ(x)= funksiyaning aniqlanish sohasi [-1, 1] kesmadan iborat. Shu kesmaning chetki nuqtalarida, ya`ni x =-1, x =+1 da funksiyaning qiymati nolga teng; ichki nuqtalarida esa, >0. Ammo x ning qiymati absolyut qiymati bo`yicha kamaygan sari funksiyaning qiymati orta boradi, x=0 bo`lganda esa u o`zining eng katta qiymatiga, ya`ni 1ga erishadi.
   
2. 
   ƒ(x)= funksiya uchun aniqlanish soha: (-1, 1). Bu funksiya maxraji |x|=1 bo`lganda nolga, demak ƒ(x) funksiyaning qiymati + ga intiladi. Ammo berilgan funksiya qiymatlari sohasi [1, ) yarim intervaldan iborat bo`lib, funksiyaning eng katta qiymati bu sohaga tegishli bo`lmaydi, shu bilan birga u istalgancha katta miqdordir.
   

Bevosita tekshirib ko`rish mumkinki, 1-misolda funksiyaning eng kichik qiymati 0, 2-misolda esa funksiyaning eng kichik qiymati 1 bo`ladi.