Elementar funksiyalar nima

Mavzu: Asosiy elementar funksiyalar. Funksiyalarni klassifikatsiyalash. Grafiklarni almashtirish. Asosiy elementar funksiyalarning uzluksizligi.

Reja:

1. 
   Elementar funksiyalar nima
   
2. 
   Funksiyalarni klassifikatsiyalash
   
3. 
   Asosiy elementar funksiya
   

Asosiy elementar funksiyalar deb quyidagi funksiyalarga aytiladi:

1. Darajali funksiya: y=x^a; bunda aÎR.
2. Ko`rsatkichli funksiya: y=a^x ; bunda a¹1, musbat son.
3. Logarifmik funksiya: y=log_ax; bunda a¹1 musbat son.
4. Trigonometrik funksiyalar: y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx,u=secx, y=cosecx va teskari trigonometrik funksiyalar y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx, y=arcsecx, y=arccosecx.
Bu asosiy elementar funksiyalar o`rta maktab kursida o`tilgan bo`lsa-da, ularga qisqacha to`xtalib o`tamiz.
Darajali funksiya
(a-haqiqiy son) a-darajali funksiyaning ko`rsatkichi. Umuman darajali funksiya R₊ da tо`la aniqlangan. a-irratsional son bo`lganda funksiya logarifmlash va potensirlash yo`li bilan hisoblanadi, bu yerda x>0. Shuning uchun funksiyani aniqlanish sohasi (0;+¥) deb olamiz. x>0 da a=0 bo`lsa, x^a=1 bo`ladi. a¹0 bo`lsa, darajali funksiyaning qiymatlar to`plami haqiqiy sonlar (0;+¥) intervaldan iborat bo`ladi. Quyidagi chizmalarda darajali funksiyaning a>1 va a<0 qiymatlaridagi tasvirlari berilgan.


Chizmalardan ko`rinadiki, darajali funksiya musbat ko`rsatkichlarda o`suvchi, manfiy ko`rsatkichlarda kamayuvchidir. Shuning bilan birga darajali funksiyada a ning qiymatlariga qarab aniqlanish sohalari har xil bo`ladi:
a) a-butun musbat son bo`lsa, funksiya (-¥;+¥ ) intervalda aniqlangan.
b) a-butun manfiy son bo`lsa, funksiya x ning x=0 dan boshqa hamma qiymatlarida aniqlangan.
Ko`rsatkichli funksiya
y=a^x , a>0 va a¹1.Bu funksiyaning aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar to`plami R dan iborat. Bu funksiya a>1 da o`suvchi, 0<a<1 da kamayuvchi. Ikkala holda funksiya chegaralanmagan

Logarifmik funksiya
y=log_ax ,a>0 va a¹1. Bu funksiya musbat sonlar to`plami ya’ni R da aniqlangan. Bu funksiyaning qiymatlar to`plami esa haqiqiy sonlar to`plamidan iborat (yuqoridagi 2-chizma).
Ko`rsatkichli va logarifmik funksiyalar o`zaro teskari funksiyalardir.
Trigonometrik funksiyalar
Trigonometrik funksiyalar barchasi davriydir. y=sinx, y=cosx, xÎR funksiyalarining davri 2p ga teng; sinx funksiya toq, cosx funksiya juft funksiyadir. Bu funksiyalar x ning barcha qiymatlarida aniqlangan. Bu funksiyalarning grafiklari chegaralangan bo`lgani uchun -1£y£1 chegarada joylashadi

Tangens y=tgx; xÎR, x ¹±p/2+pk, kÎz va kotangens y=ctgx; xÎR , x ¹pk, kÎz funksiyalari toq, chegaralanmagan, davriy bo`lib davri p ga teng.

8.1. Funksiyalarning juft-toqligi va davriyligi
Ta’rif. y=f(x) funksiyaning аniqlаnish sоhаsigа tеgishli x o`zgаruvchining hаr bir qiymаti bilаn -x qiymаt hаm shu funksiyaning аniqlаnish sоhаsigа tеgishli bo`lsa vа bundа f(-x)=f(x) tеnglik bаjаrilsа, y=f(x) funksiya juft funksiya dеyilаdi.
Mаsаlаn, f(x)=x² funksiya juft funksiyadir. Hаqiqаtdаn, bu funksiya R to`plаmdа аniqlаngаn, dеmаk, аniqlаnish sоhаsi hаr qаndаy x bilаn -x ni o`z ichigа оlаdi. Bundаn tаshqаri f(-x)=(-x)²=x²=f(x) tеnglik bаjаrilаdi.
Juft funksiya grаfigi оrdinаtа o`qigа nisbаtаn simmеtrik bo`ladi.