Fizika-matematika fakulteti matematika kafedrasi algebra va sonlar nazaryasi fanidan

1-§. To‘plam va to‘plamlar ustida amalla
To‘plam tushunchasi matematikaning boshlang‘ich tushunchalaridan biri bo‘lib, u tarifsiz qabul qilinadi. Buning sababi shundaki, u tushunchaga berilgan tarifning o‘zi xam yanada soddaroq tushunchaga asoslangan bo‘lishi kerak; ammo
bunday tushunchaga ega emasmiz. “To‘plam” so‘zi matematikada “yig‘in”, “to‘da”, “uyum” maonoda ishlatiladi. (To‘plamlar nazariyasining asoschilari chex matematikgi B.Bolsano, nemis matematiklari Georg Kantor va R.Dedikentlar hisoblanadi). To‘plamni tarifini qidirmasdan, uni misollar bilan tushuntiramiz.
Masalan. Farg‘ona sha’ridagi bircha 10-sinf o‘quvchilari to‘plam hosil qiladi deyish mumkin, shuningdek o‘zbek alfavitining barcha harflari, barcha natural sonlar, xamma uzluksiz funksiyalar, tekislikdagi barcha nuqtalar, Farg‘ona shahridagi barcha chinorlar xam to‘plam tashkil etadi. Bunday misollarni cheksiz ko‘p keltirish mumkin. Umuman, to‘plam tushunchasini anglashda uning turli narsalarning birlashmasi (majmuasi) ekanligini unutmaslik kerak.
Berilgan to‘plamni tashkil etuvchi obektlar (narsalar) uning elementlari deyiladi. Odatda to‘plam berilganda uning elementlari bir yoki bir necha belgilarga muvofiq aniqlangan bo‘ladi. Bu belgilarga asoslanib xam narsa berilgan to‘plamning elementi ekanligi yoki elementi emasligini ayta olish mumkin. To‘plamda bir xil (bir-biridan farq qilib bo‘lmaydigan) elementlar bo‘lmaydi. Masalan
(x-1)²(x+1)³=0 tenglamaning barcha ildizlari to‘plami 1, 1, -1, -1, -1 elementlardan iborat bo‘lmasdan, balki 1 va -1 elementlardan iborat.
Agar to‘plam birorta xam elementga ega bo‘lmasa, bo‘sh to‘plam deyiladi va uni Æ (bazan esa Ù yoki 0) bilan belgilanadi.
To‘plamlarni lotin alfavitining A,B,C,...,X,Y,Z singari bosh harflari bilan, uning elementlari esa a,b,c,...,x,y,z kabi kichik harflar bilan belgilaymiz.
Biror a narsa A to‘plamning elementi ekanligi aÎ A (A ' a) shaklida, a narsa A to‘plamga tegishli emasligini esa ko‘rinishda yoziladi va ularni mos ravishda “a element A to‘plamga tegishli” “a element A to‘plamga tegishli emas” deb o‘qiladi.
Matematikada asosiy sonlar to‘plamini quyidagicha belgilanadi:
N - natural sonlar to‘plami, Z - butun sonlar to‘plami, Q - ratsional sonlar to‘plami, J -irratsional sonlar to‘plami, R - haqiqiy sonlar to‘plami, C - kompleks sonlar to‘plami. Agar berilgan A to‘plamning elementlari biror r(x) xossaga ega bo‘lsa, u to‘plamni A={x:r(x)} yoki A={x | r(x)} ko‘rinishda yozamiz. Bu holda r(x) hossa to‘plamning xarakteristik xossasi deyiladi.
Misol.

To‘plamning xarakte-ristik xossasi bilan berilishi	To‘plamning belgilanishi	To‘plamni sonlar o‘qida tasvirlanishi
{x:xÎ a £ x £ b}	[a,b]	a b
{x:xÎ a < x £ b}	(a,b]	a b
{x:xÎ a £ x < b}	[a,b)	a b
{x:xÎ a < x < b}	(a,b)	a b
{x:xÎ x >a}	(a,¥)
{x:xÎ x ³ a}	[a,¥)	a
{x:xÎ x	(-¥,a)
{x:xÎ x£ a }	(-¥,a]

Misol. Agar A barcha juft natural to‘plami bo‘lsa, u holda uni quyidagi belgilaymiz A={x: x=2k, k Î N}.
Agar to‘plam chekli sondagi elementlardan iborat bo‘lsa, uni barcha elementlarini ko‘rsatish bilan belgilanadi.
Masalan A to‘plam 1,2,3,4,5 elementlardan iborat bo‘lsa, uni A={1,2,3.4.5} kabi yoziladi.