Fizika-matematika fakulteti matematika kafedrasi algebra va sonlar nazaryasi fanidan

Misollar. 3. Yuqoridagi 2-misolda keltirilgan yarimgruppa monoid bo‘ladi.
4. N algebra multiplikativ monoid bo‘lishini ko‘rsatish oson. N additiv yarimgruppa monoid bo‘lmaydi, chunki N to‘plamda qo‘shish amaliga nisbatan neytral element mavjud emas.
Aytaylik A yarimgruppa bo‘lsin, u holda
"(a₁, a₂,...,a_nÎ A) a₁*a₂*...*a_n (1)
simvolni
a₁* a₂*...*a_n=(a₁* a₂*...*a_n-1)*a_n
maonosida tushuniladi.
Agar * amal + (qo‘shish) dan iborat bo‘lsa, (1) ni qisqacha ko‘rinishda, * amal × (ko‘paytirish) dan iborat bo‘lsa, ko‘rinishda belgilaymiz. Demak,
= a₁+ a₂+...+a_n=( a₁+ a₂+...+a_n-1)+ a_n (2)
= a₁ a₂ ... a_n=( a₁ a₂ ... a_n-1) a_n (3)
Xususiy holda a₁=a₂= ...=a_n=a bo‘lsa, u holda (2) na=(n-1)a+a, (3) esa
aⁿ=a^n-1×a ko‘rinishga keladi.
Algebraning xususiy ko‘rinishlaridan biri gruppa tushunchasi bo‘lib, u matematika va uning tatbiqlarida muhim axamiyatga ega.
Tarif. G to‘plamda aniqlangan * binar amal quyidagi shartlar (gruppa aksiomalari) ni qanoatlantirsa:
1⁰. "(a,b,c Î G) a * (b*c)=(a*b) *c;
2⁰. $(eÎ G) " (a Î G) a * e=a;
3⁰. " (aÎ G) $ (a'Î G) a* a'=e.
u holda G gruppa deyiladi.
Agar yuqoridagi 1⁰ - 3⁰ shartlarga qo‘shimcha ravishda yana 4⁰ "(a,bÎG) a*b=b*a bo‘lsa, u holda G ni kommutativ gruppa yoki Abel gruppasi deyiladi. Agar G chekli to‘plam bo‘lsa, G ni chekli gruppa G ning elementlari soni G gruppaning tartibi deyiladi. Agarda G cheksiz to‘plam bo‘lsa, G gruppaning tartibi cheksiz deyiladi.
Agar * binar amal + (qo‘shish) dan iborat bo‘lsa, G gruppani additiv deyiladi. Bu holda "(a,bÎ G) a*b=a+b ko‘rinishda yoziladi va uni a va b elementlarni yigindisi deyiladi. Agar * amal × (ko‘paytirish) amalidan iborat bo‘lsa, G ni multiplikativ gruppa deyiladi, a*b ni a×b yoki ab ko‘rinishda belgilanadi xamda a va b elementlarning ko‘paytmasi deyiladi.