Funksional analiz fanidan tayorlagan kurs is

2.1-ta`rif. segmentda aniqlangan funksiya berilgan bo`lsin Agar segmentni

nuqtalar bilan ixtiyoriy n qismga bo`lganimizda nuqtalarni tanlab olishga bog`liq bo`lmagan va ushbu
(1)
tengsizlikni qanoatlantiradigan o`zgarmas son mavjud bo`lsa , u holda funksiya segmentda o`zgarishi chegaralangan deyiladi.
Har qanday o`zgarishi chegaralangan funksiya chegaralangan funksiyadir. Haqiqatan, o`zgarishi chegaralangan bo`lgani sababli har qanday uchun

Bundan va

tengsizlikdan funksiyani chegaralanganligi kelib chiqadi.
Odatda (1) tengsizlikni chap tamonidagi yig`indining aniq yuqori chegarasini ( segmentni qismlarga turlicha bo`lishlar to`plamiga nisbatan ) bilan belgilanadi va bu sonni funksiyaning segmentdagi to`la o`zgarishi deyiladi misollar.
1) segmentda aniqlangan va monoton o`suvchi funksiya chegaralangan
o`zgarishga ega ,chunki uning uchun (1) ko`rinishdagi har qanday yig`indi ga teng. Shunga o`xshash segmentda aniqlangan va monoton kamayuvchi funksiya ham chegaralangan o`zgarishga ega.
2) agar biror musbat va o`zgarmas A son hamda ixtiyoriyn nuqtalari uchun tengsizlik bajarilsa, funksiya segmentda Lipshits shartini qanoatlantiruvchi deyiladi. segmentda chegaralangan va Lipshits shartini qanoatlantiruvchi funksiyaning o`zgarishi chegaralangan bo`ladi. Darhaqiqat, Lipshits shartiga muvofiq:

bundan: ya`ni f ning o`zgarishi chegaralangan .
endi o`zgarishi chegaralangan funksiyalarning tuzilishi va xossalarini o`rganishga o`tamiz.
2.1-Teorema. segmentda o`zgarishi chegaralangan ikki va funksiyaning yig`indisi ,ayirmasi va ko`paytmasi ham o`zgarishi chegaralangan funksiyalar bo`ladi.
Isbot. Darhaqiqat, segmentni ixtiyoriy n qismga bo`lib,

tengsizliklarni yozishimiz mumkin; bu yerda : . Bundan
ya`ni funksiyaning o`zgarishi chegaralanganligi bevosita kelib chiqadi. Ayirma uchun ham tearema shunga o`xshash isbotlanadi. Endi va funksiyalarning ko`paytmasini olamiz :

bo`lsin ba funksiyalar o`zgarishi chegaralangan bo`lgani sababli chegaralangandir. Shuning uchun va sonlar chekli. Bu holda


Bundan
Ya`ni funksiyaning o`zgarishi chegaralangan .