Funksiyanın nöqtədə limiti,limitin xassələri, funksiyanın kəsilməzliyi

Dəyişənləri əvəz edilməsi

Tutaq ki

(1)

inteqralı verilib, f(x) funksiyası [a;b] parçasında kəsilməzdir.

x = g(t) (α≤t≤β) düsturu ilə yeni dəyişən daxil edək. Onda əgər:

1. 
   a = g(α) , b = g(β) ;
   
2. 
   g(t) və g΄(t) funksiyaları [α;β] parçasında kəsilməzdirsə;
   
3. 
   f(g(t)) funksiyası [α;β] parçasında təyin olunub kəsilməz olarsa,
   

= (1)

(1) düsturuna müəyyən inteqralda dəyişənin əvəz edilməsi düsturu deyilir.

3. 
   Hissə-hissə inteqralama
   

Tutaq ki, u=u(x) və v=v(x) funksiyaları [a;b] parçasında kəsilməz diferensiallanan funksiyadır. Məlumdur ki,

düsturu ilə hesablanır.

Eyniliyin hər iki tərəfini parçasında inteqrallasaq alarıq

(2)

Burada olduğundan,

;

ona görə də (2) bərabərliyini

şəklində yazmaq olar. Buradan isə müəyyən inteqralın hissə - hissə inteqrallanması düsturunu alırıq: .

Konusun və kəsik konusun həcmi.

Düzbucaqlı üçbucağın bir kateti ətrafında fırlanmasından alınan cismə konus deyilir.

Düzbucaqlı üçbucağın fırlanmayan katetini saxlayan düz xətt onun oxu, həmin katetə isə konusun hündürlüyü, fırlanan katetinə konusun radiusu, hipetonuzuna isə konusun doğuranı deyilir. Firlanma zamanı hipetenuzun əmələ gətirdiyi fırlanma səthinə konusun yan səthi deyilir.

Konus daxilinə çəkilmiş düzgün n bucaqlı piramidanın oturacağının tərəflərinin sayını sonsuz artırdıqda piramidanın həcminin limitinə konusun həcmi deyilir.

Teorem 1: Konusun həcmi oturacağının sahəsi ilə hündürlüyü hasılınin üçdə birinə bərabərdir. V= S_ot∙_∙H= . ∙𝜋∙R²∙H.

Teorem 2: Hündürlüyü H oturacaqlarının radiusları r və R, oturacaqlarının sahələri isə S₁ və S₂ olan kəsik konusun həcmi:

V = H(S₂ + + S₁) = 𝜋H(R² + ∙r + r²) düsturu ilə hesablanır.

Sferanın sahəsi.

Fəzanın verilmiş nöqtəsindən verilmiş məsafədə olan bütün nöqtələrdən ibarət fiqura sfera deyilir. Verilmiş nöqtə O sferanın mərkəzi, verilmiş məsafəyə R sferanın radiusu deyilir. Sferanın istənilən iki nöqtəsini birləşdirən parçaya onun vətəri, mərkəzdən keçən vətərə diametri deyilir.

Sferanın mərkəzi ilə ixtiyarı nöqtəsini birləşdirən parçaya onun radiusu deyilir.

Fəzanın verilmiş nöqtəsindən məsafələri verilmiş məsafədən böyük olmayan bütün nöqtələrdən ibarət çoxluğa kürə deyilir. Sfera kürənin sərhədidir.

Fərz edək ki, sferanın mərkəzi M(a;b;c) nöqtəsidir və onun radiusu R-ə bərabərdir. X(x;y;z) nöqtəsi sferanın ixtiyari nöqtəsi olsun.

Sferanın tərifinə görə: MX = R və MX² = R².

Iki nöqtə arasındakı məsafə düsturuna görə: (x-a)² +(y-b)²+(z-c)² = R².

Sferanın mərkəzi koordinat başlanğıcında olsa, a=b=c=0 olur. Onda sferanın tənliyi aşağıdakı kimi yazılır: x² + y² + z² = R².

Teorem 1: Radiusu R olan sferanın sahəsi düsturu S=4𝜋R² düsturu ilə hesablanır.