Furye qatori asosida raqamli signallar yetakchi garmonikalarini aniqlash

Furye qatori asosida raqamli signallar yetakchi garmonikalarini aniqlash
Avvalgi paragriflarda keltirilgan Fure qatoriga yoyish usuli spectral tahlil, aloqa qurilmalari va tizimlari hamda axborotlarning sonly harakteristikalarini o’rganishga samarali usullardan hisoblanadi. Biz bu yerda o’rganilayotgan kattalikni Y vaqtni t deb belgilasak ular orasidan bog’lanish funksianal, grafik yoki jadval ko’rinishda berilgan bo’lishi mumkin. Berilgan ma’lumotlar asosida t va y bog’lanishini spektral tahlil qilish talab qilinayotgan bo’lsin. Agar y = _{ } funksional bog’lanish berilgan bo’lsa funksiya Fure qatori
_{ } + _{ } (4.1)
ko’rinishda ifodalanadi. Agar _{ } funksiya davriy bo’lib davri T ga teng bo’lsa a_k, b_k koeffisiyentlarni aniqlash uchun
(4.2)
formulalardan foydalaniladi Bu yerda _{ } (4.1) Fure qatorining 1-hadi chastotasi, qatorining har bir k ga mos hadi esa garmonik deyiladi. Odatda (4.1) qator mos yaqinlashuvchi bo’lib talab qilinayotgan aniqlik darajasi uchun uning chekli hadlarini olish yetarli bo’ladi . Natijada
_{ } + _{ }
formulani hosil qilamiz . Uning garmonikalari amplitudalarini C_k = _{ } hisoblab taqqoslash yordamida etakchi garmonikalarini aniqlash mumkin. Masalan, C₁ >> C₂, i=2,4,5,…,n, C₃ >> C_{i ,} i=2,4,5,…,n shart bajarilsa 1- va 3- garmonikalari yetakchi ekan deyish mumkin. Agar _{ } funksiyani qabul qilingan signal deb, u raqamli ko’rinishda, ya’ni jadval ko’rinishda berilgan bo’lsa uni Fure qatoriga yoyish va tahlil qilish masalalarini ko’ramiz. O’rganilayotgan jarayon signallar bilan bog’liq bo’lsa, uni davriy deb faraz qilish faqat bitta davridagi ma’lumotlar bilan cheklansak bo’ladi. Shunday qilib y = f(x) bog’lanish haqidagi ma’lumot

i	0	1	2	………..	n-1	n
ti	t0	t1	t2	………..	tn-1	tn
fi	f0	f1	f2	………	fn-1	fn

berilgan bo’lsa jadval funksiyani bo’lakli o’zgarmas funksiya sifatida

ko’rinishda ifodalash mumkin. Agar kuzatuvlar davriy tarzda bir xil vaqt intervalida olib borilgan bo’lsa, ya’ni t_i - t_i-1 = h bo’lsa funksiya tasvirini soddalashtirish mumkin.
_(4.3)
bu funksiya uchun Fure koeffisiyentini hisoblash maxsus yondashuvni talab qilar ekan . Chunki ma’lum taqribiy integrallash formulalari kerakli aniqlikni taminlay olmasligi mumkin ekan. (4.2) formulalar bo’yicha integrallarni hisoblash va (4.3) funksiya ko’rinishidan foydalanib integrallarni ko’rsatilgan oraliqlar bo’yicha hisoblaymiz. Masalan, (4.2) birinchi formulasi uchun





Shuningdek b_k lar uchun ham shunday formulalarni hosil qilish mumkin. Amalyotda keng tarqalgan t₀ = 0 hol uchun nisbatan soddaroq formuladan hosil bo’ladi.

_(4.4)
Bu yerda m – talab qilinayotgan aniqlik uchun yetarli bo’lgan hadlar soni.
Koeffitsiyentlari (4.4) formulalar bo’yicha hisoblangan (4.1) ning chekli yig’indisi asosida aniqlangan f(x) funksiya uchun spektral tahlil o’tkazish mumkin.
C_k = _{ } (4.5)
formula bo’yicha k – garmonika amplidudasini hisoblaymiz. Ana shu amplitudalar qiymatlari bo’yicha taqqoslab kamayish tartibida joylashtiramiz. Agar C_k qiymatlardan ayrimlari qolganlaridan ancha katta bo’lsa, ya’ni C_{k1  } .
k₁ , k₂ , k₃ - garmonikalar qolganlaridan ancha katta . Bu holda aynan shu k₁ , k₂ , k₃ - garmonikalar yetakchi garmonikalar deb hisoblanadi, qolgani esa uchrashi mumkin bo’lgan shovqin yoki sistematik qator deb tushunish va e’tibordan chetga qoldirish mumkin.
Bu usul yordamida biror yerdagi yoki koinotdagi obyektning ximyaviy tarkibini aniqlashda foydalanish mumkin. Buning uchun ana shu obyektga nur yuboriladi va undan qaytgan nurni yuqorida ko’rilgan bo’yicha tahlil qilinadi. Bunda ximyaviy elemenlarning nurlanish spektriga qarab o’rganilayotgan obyektda uning borligi va tarkibiy foizi haqida tasavvur qilishimiz mumkin. Keltirilgan usul ham dasturlanishi va kompyuterda tahlil qilinishi mumkin.
Agar signalda faqat bitta yetakchi garmonika bo’lsa, ya’ni C_i>>C_k , k = 1,2,3,4……i-1, i+1,….,m, i-garmonik yetakchi bo’ladi. Qolgan garmonikalar shovqin deb tashlab yuborilsa va f(t) uchun quyidagi
formulani hosil qilamiz.

F(t) = a_icosi_{ }.
Bu formulani chizmaga moslab

(4.6)
ko’rinishga keltiramiz. Bu yerda _{ } bo’lib signalning boshlang’ich siljishi deb ataladi, C_i = _{ } esa amplitudasi bo’ladi.
Keltirilgan algoritm bo’yicha dastur tuzilgan va bu dastur bo’yicha quyidagi jadvaldagi axborot qayta ishlangan.

X(t)	Y(i)
0 1.5625E-07 3.125E-07 4.6875E-07 6.25E-07 7.0125E-07 9.375E-07 1.08375E-06 1.25E-06 1.40625E-06 1.5625E-06 1.7187E-06 1.875E-06 2.03125E-06 2.1075E-06 2.34375E-06 2.5E-06	0.9 -1.13064 -2.49863 -2.40226 -0.887656 1.13406 2.50293 2.40724 0.903125 -1.12029 -2.49707 -2.40140 -0.897656 1.13328 2.50137 2.4049 0.9

Bu ma’lumotlar asosida hisoblangan C_k lar qiymatlari orasida C₂ = 2.58919 , qolgan amplitudalar esa juda kichik

C₁ = 1.27E-03 C₃ = 1.49E-04 >C₄ > C₅ … .
Shuning uchun berilgan misolda C = 2.5892; _{ } bo’lib, y = C*sin(2_{ }) ko’rinishda ifodalaymiz . Bu formula bilan hisoblangan qiymatlar va jadval qiymatlar orasidagi farq 0.04 atrofida nisbiy xatolik 3_{ } atrofida bo’lib amalyot uchun yetarli natija sifatida qaralishi mumkin.