Геометрия до Евклида

§ 16 va 17 da biz D ( _W) nazariyasida I 1, I 2, II 1, II 2, III₁ va VI kabi takliflar mavjudligini ko'rdik. Shuning uchun III, 2, IV va V takliflarning amalga oshirilishini sinab ko'rish kerak.
III₂.G (_W ) ta'limotida burchakning gradus o'lchovi tushunchasini kiritaylik. Qoyil
(h, k) o'zboshimchalik bilan burchak, a va nurlarning h va k yo'nalishlariga mos ravishda tegishli vektorlardir .burchak hk ning radian o'lchovi 0 < son oralig'iga tegishli sondir , shunday
cos =,
bu yerda g (, ) tanlangan birlik segmentiga to'g'ri keladigan bilinear shaklidir (1-qismga qarang). 1, § 18, para. 4).Cos birlik segmentini tanlashga, nurlarning yo'nalishlariga tegishli vektorlar va , tanlashga bog'liq emasligini isbotlash qiyin emas .
IV. ABC uchburchak bo'lsin, h A₁ nuqtadan chiqayotgan nur bo'lsin va chegarasi ray h ga tegishli bo'lgan yarim samolyot bo'lsin. E'tibor bering, ikkita bayroq (A, h 0, 0) va (A ₁, h , ), bu yerda h 0 – nur AB va ₀ – chegarasi AB bo'lgan yarim tekislik C. B §83 ikkita bayroq (1-qism, §41, teorema 2) orqali harakat berish haqidagi teoremaning D (_W) teoremasida o'rni borligini qayd etganmiz . Demak, bayroqni (A, h 0, ₀) bayroqqa (A ₁, h , )tarjima qiluvchi harakat f mavjud. Agar B 1 = f (B ) va C 1 = f (C) bo'lsa, u holda A 1 B 1 C 1 qidirib ko'rsa , B 1 h, C 1 va ABC = A 1 B ₁ C 1 bo'lganidan beri.
V. PQ tanlangan birlik segmenti bo'lsin va d har qanday musbat haqiqiy son bo'lsin. PQ segmentiga to'g'ri keladigan bilinear forma g(, ) ni ko'rib chiqaylik . Agar A samolyotda arbitraj nuqta bo'lsa, u holda B nuqta bor shunday = , qaerda = d ( tizim _W ning axiom 1). Keyin