Giperpolik tipdagi to‘lqin tenglamalari reja: kirish

3. Har xil chegaraviy sharli bir o‘lchovli to’lqin tarqalishi masalalarini sonli yechish.
Ko'plab gidroinshootlarning matematik modellari matematik fizikaning nochiziqli to'lqin tenglamalariga olib kelinadi. Bunday masalalarni sonli yechishda samarali sonli usullardan foydalanish maqsadga muvifiq. Hozirgi kungacha gidroelastiklikning bunday masalalalarini sonli yechishning ko'pgina samarali va yetarlicha ustivor ayirmali sxemalari yaratilgan. Masalan, vaznli ayirmali sxemalar, Krank-Nikolson sxemasi, rasshepleniya usullari va ularning har xil modifikatsiyalari.
Quyida gidroelastiklikning bir o'lchovli nochiziqli giperbolik tipdagi tenglamasini vaznli ayirmali sxema bilan sonli yechish masalasi qaralgan.
Quyidagi bir o'lchovli nochiziqli giperbolik tipdagi tenglamasini qaraymiz:

uni quyidagi boshlang'ich va chegaraviy shartlarda yechamiz:

Tadqiqot sohasini quyidagicha to'rga bo'lamiz:

Soddalik uchun x koordinata bo'yicha h va t vaqt bo'yicha ga teng bo'lgan teng qadamlardan foydalanamiz, shunga ko'ra tor tugunlari quyidagicha:

Yuqorida berilgan xususiy hosilali differensial tenglamanin sonli yechish uchun quyidagi uch qatlamli vaznli ayirmali sxemadan foydalanamiz:

bu yerda А - differensial operator bo'lib, berilgan tenglamaning o'ng tarafini tavsiflaydi; ayirmali sxemaning vazn koeffisiyentlari. Berilgan tenglamaning
nuqtadagi yechimini bilan belgilaymiz. Vazn koeffisiyentlari ning chekli qiymatlarida berilgan ayirmali sxema
absolyut ustivor. da sxema oshkor, da esa oshkormas,
bo'lganga sxema Krank-Nikolson sxemasiga aylanadi.
Berilgan chegaraviy shartlarning sonli approsimatsiyasi:





Ichki nuqtalar uchun oshkormas sxema bo'yicha sonli approsimatsiya:
Bu oxirgi ikkitachiziqli algebraik tenglamalar sistemasi uch diagonalli bo'lib, uni progonka usuli bilan yechamiz. qo'shiluvchilar
boshlang'ich shartlardan topiladi: