Gruppa tushunchasi

3-teorema. gruppani yadro bo`yicha
(1)
qo`shni sistemalarga yoysak:
1) xar bir qo`shni sistemadagi xamma elementlar ning bitta elementiga akslangani xolda turli sistemalardagi elementlar ning turli elementlariga akslanadi;
2) (1) sistemalar orasida ning istalgan elementiga akslanuvchi elementlardan tuzilgan sistema mavjud bo`ladi.
Isboti. (1) ning ixtiyoriy sistemasi bo`lib, desak, istalgan element uchun ham bo`ladi, chunki va dan = kelib chiqadi. Shu munosabat bilan sistma elementga akslanadi, yani deb aytishni qabul qilamiz .
gruppaning elementga akslanuvchi har bir elementi ga qarashlidir. Xaqiqatdan , bo`lsa , u xolda bu akslanishdan va dan xosil bo`lganligi sababli H kelib chiqadi va buning ikkala tomonini ga ko`paytirib ga ega bo`lamiz.
dan farqli sistema uchun bo`lsa, bo`ladi, chunki ,
shartda ning ga akslanuvchi elementlari ga qarashli bo`lganligidan ni xosil qilamiz, ammo edi.
Agar , akslanishlarga murojaat qilsak, gruppa quyidagi elementlardan tuzilgan bo`ladi:
, (2)
Chunki istalgan element (2) da mavjud . Xaqiqatdan ham , da ga akslanuvchi element albatta bor bo`lib , u (1) sistemalarning biriga , masalan , ga qarashli bo`ladi; u xolda dan kelib chiqadi.
2-tarif. gruppaning gruppaga gomomorf akslanishi o‘zaro bir qiymatli bo`lsa ( ya`ni gruppaning elementlari gruppaga elementlariga o‘zaro bir qiymatli akslansa ), gruppa gruppaga izamorf akslanadi deyiladi.
Bu xolda biz va gruppalarning izamorfizmiga ega bo`lamiz . va gruppalarni izamorf gruppalar deb ataymiz. ning ga izamorf akslanishi ko`rinishda belgilanadi.
Izamorfizmda ning har bir elementi ning bitta elementiga akslanishi bilan birga , ga faqat shu bitta gina akslanadi. Demak, va da yoki bo`ladi. izamorfizmning yadrosi bitta elementdangina iborat bo`ladi, chunki ga faqat bitta akslanadi: Bu xolda (1) yoyilma ko`rinishni olib , ushbu o`zaro bir qiymatli
akslanishlarga ega bo`lamiz.
4-teorema. gruppa ga izamorf akslansa , aksincha , gruppa ga izamorf akslanadi.
Isboti. O`zaro bir qqiymatli akslanishga qarab , akslanishni o`rnatamiz. Bu akslanish ham o`zaro bir qiymatli ekanligi ravshan . Endi dan kelib chiqqanligiga asosan va dan xosil bo`ladi. Demak, ekanligi tasdiqlanadi.
va izamorf gruppalar tuzilishi (struktura) jixatidan bir xildir; ulaedan biri chekli (cheksiz) bo`lganda , ikkinchisi ham chekli (cheksiz ) bo`ladi . Chekli bo`lgan xolda , ikkala gruppa bir xil tartibli , cheksiz bo`lgan taqdirda teng quvvatli gruppalar bo`ladi. Ulardan biri kommutativ (nokommutativ) gruppa bo`lsa ikkinchisi ham kommutativ (nokommutativ) gruppa bo`ladi . izamorf gruppalarning bir biriga akslanuvchi elementlari bir xil tartiblidir. Bu gruppalarning birida qancha qism gruppalar, normal bo`luvchilar mavjud bo`lsa , ikkinchisida ham ularga izaamorf shuncha qism gruppalar va normal bo`luvchilar mavjud bo`ladi va hakazo. Xullas ,izamorf gruppalarni tashkil etuvchi elementlarning tabiatiga va ular ustida bajariladigan algebraik amallarning qoidalariga etibor qilmasak, bunday gruppalar teng deb xisoblanadi.
Misollar. 1. Ko`paytirishga nisbatan gruppa bilan gruppani olib , ushbu bir qiymatli akslanishlarni quyidagicha kritamiz:
.
Bu akslanishlar elementlarni ko`paytirishda o`z kuchini saqlaydi:
; ; va hakazo. Demak , gruppa gruppaga gomomorf akslanadi. Gomomorfizm yadrosi dan iborat.

2. butun sonlarni qo`shishga nisbatan gruppasi bo`lsin . esa ko`paytirishga nisbatan gruppadir. ning hamma juft sonlarini dagi 1 ga, hamma toq sonlarini -1 ga bir qiymatli akslantiramiz:

va
Bu akslanishlar ko`paytirishda o`z kuchini saqlaydi:
.
Shunday qilib , bo`lib , gomomorfizm yadrosi juft sonlaring qo`shishga nisbatan
gruppasidir.
3.
o`rniga qo`yishlar gruppasi bilan ko`paytirishga nisbatan

matritsalar gruppasini olamiz . ning elementlarini (birinchini birinchiga , ikkinchini ikkinchiga va hakazo) o`zaro bir qiymatli akslantiramiz. Bunday akslantirishlar ko`paytirishda o`z kuchini saqlaydi. Masalan, va dan

kelib chiqadi, chunki birinchi va ikkinchi ko`paytmalar mos ravishda
va
Ga teng bo`lib , bu elementlar xuddi bir biriga akslanadi . Demak,
4. musbat xaqiqiy sonlarning ko`paytirishga nisbatan gruppasi, barcha xaqiqiy sonlarning qo`shishga nisbatan gruppasi bo`lsin. elementga ni o`zaro bir qiymatli mos keltirsak, bu moslik elementlarni ko`paytirishda o`z kuchini saqlaydi. Xaqiqatdan , va bo`lsa kelib chiqadi. Shunday qilib,
5-teorema. (gomomorfizm xaqida teorema). gruppa ga izamorf akslansa , faktor gruppa gruppaga izamorf akslanadi. , bunda gomomorfizm yadrosi .
Isboti. gamomorfizm berilgan . nib u gomomorfizmning yadrosi bo`yicha sistemalarga yoysak , 3-teoremaga asosan

gruppa elementlari gruppa elementlariga o`zaro bir qiymatli akslanadi: . Bu akslanishlar elementlarni ko`paytirishda o`z kuchini saqlaydi. Xaqiqatdan ham, ni ning ixtiyoriyeementlari deb qarasak, shu bilan birga ni nazarda tutsak, gamomorfizmda dan
kelib chiqqanligi uchun, bo`ladi. Bu esa ni bildiradi.
Demak .