Gruppa tushunchasi

Misollar. 1.
gruppani qism gruppa bo`yicha qo`shni sistemalarga yoyamiz. Bu ish quyidagicha bajariladi. Birinchi sistema sifatida ni olamiz ; ikkinchi sistemani hosil qilish uchun ni ning ga qarashli bo`lmagan istalgan elementiga , masalan, ga ko`paytiramiz:
= .
ni yana ning va ga tegishli bo`lmagan elementiga masalan, ga ko`paytiramiz:
.
Bu uchala sistema ning hamma elementlarini o`z ichiga olganligi uchun yoyish protsessi tamom bo`lib , ushbu yoyilmani xosil qilamiz:
.
Bu yoyilmaning sistemalari ikkitadan elementga ega.
2. Noldan tashqari hamma ratsional sonlarning ko`paytirishga nisbatan gruppasi da musbat ratsional sonlar qism to`plami qism gruppasidir. ni bo`yicha yoyamiz: birinchi sistema dan iborat. ga qarashli bo`lmagan -1 ni olib , ni -1 ga ko`paytirsak , ikkinchi . va sistemalar ning barcha elementlarini ( sistema musbat ratsional sonlarni , sistema manfiy ratsional sonlarni) o`z ichiga olganligi sababli yoyilma

Ko`rinishga ega bo`ladi. Bunda va teng quvvq=atli ekanligi ravshan, chunki musbat ratsional son o`zaro bir qiymatli ravishda manfiy ratsional songa mos keladi.
3. Noldan tashqari kompleks sonlarning ko`paytirishga nisbatan gruppasi ning qism gruppa bo`yicha yoyilmasi quyidagicha bo`ladi:

Yoyilma cheksiz, lekin , xar bir sistema chekli va to`rtta elementdan tuzilgan.
chekli gruppaning xar bir qism gruppasi chekli va ning bo`yicha yoyilmasi ham cheklidir. Bunday yoyilmani
(4)
Ko`rinishda yozamiz . , ning tartibi esa bo`lsa , u xolda (4) yoyilmadagi har bir sistema elementlarining soni ham ga teng bo`ladi. (4) yoyilma ta sistemadan tuzilgan. Bu son qism gruppaning indeksi deyiladi.