Guliston davlat universiteti matematika kafedrasi variatsion hisob va optimallashtirish usullari

Misol 17. funsionalning variatsiyasi topilsin.
Yechish. Ravshanki, funksiya o`zgaruvchilar bo`yicha uzluksiz va lar bo`yicha barcha tartibli hususiy hosilaga ega. Shuning uchun, berilgan funksional fazoda differensiallanuvchi va uning variatsiyasi (15) formulaga asosan quyidagiga teng
 .
4<sup>0</sup>. Funksional variatsining ikkinchi ta`rifi.
funksionalning nuqtadagi variatsiyasi deb, funksionalni parametr bo`yicha olingan hosilasining  dagi qiymatiga aytiladi , yani
. (17)
Agar funksional variatsiyasi uning orttirmasini chiziqli bosh qismi sifatida mavjud bo’lsa, ya`ni 1-ta`rif ma`nosida bo’lsa, u holda variatsiya parametr bo`yicha hosilasining dagi qiymatida mavjud bo’ladi va bu variatsiyalar ustma-ust tushadi.
Misol 18. 2-ta`rifdan foydalanib 
funksionalning variatsiyasi topilsin.
Yechish. 1-ta`rifga asosan berilgan funksionalning variatsiyasi quyidagiga teng (15 misolga qarang)

Variatsiyaning 2-ta’rifidan foydalanid funksionalning variatsiyasi topib va quyidagiga ega bo`lamiz
.
U holda


va mos ravishda ega bo’lamiz. Shunday qilib, 1- va 2- ta`riflar ma`nosida funksionalning variatsiyasi ustma-ust tushadi.

5⁰ . Funksionalning ikkinchi variatsiyasi. Ikki x va y elementlarga bog’liq funksional bichiziqli deyiladi, agar mahkamlangan (fiksirlangan) da u ga bog’liq chiziqli funksionalni ifodalasa, da u ning chiziqli funksionali bo’lsa. Shunday qilib, funksional bichiziqli deyiladi, agarda

bo’lsa.
Bichiziqli funksionalda deb olsak, u holda kvadratik funksional deb ataluvchi funksionalni hosil qilamiz. Bichiziqli funksional chtkli o’lchovli fazoda bichiziqli forma deyiladi.
Agar ixtiyoriy x element uchun bo’lsa, u holda funksional musbat aniqlangan deyiladi. Masalan,
1) J[x,y] = , ifoda bichiziqli funksionalni ifodalaydi, bu erda - fiksirlangan uzluksiz funksiya, - esa fazoda kvadratik funksionalni ifodalaydi, hattoki, agar barcha uchun bo’lsa, u holda kvadratik funksional musbat aniqlangan bo’ladi.
2) ifoda fazodan olingan funksiyalar uchun kvadratik funksionalga misol bo’ladi.
3) integral fazoda bichiziqli funksionalni beradi, bu erda ikki o’zgaruvchili fiksirlangan funksiya.
Ta’rif. Aytaylik, J[y] qaysidir chiziqli normallashgan fazoda aniqlangan funksional bo’lsin. J[y] funksional ikkinchi variatsiyaga ega deyiladi, agarda funksional orttirmasi ∆J=J[y+ ]- J[y(x)] ni
(18)
ko’rinishda yozish mumkin bo’lsa, bu erda L₁[ ] chiziqli funksional , L₂[ ] esa kvadratik funksionalni ifodalaydi, da L₂[ ] kvadratik funksional J[y] funksionalning ikkinchi variatsiyasi (ikkinchi differensiali) deyiladi, va deb belgilanadi. Funksionalning ikkinchi variatsiyasi (agar u mavjud bo’lsa) bir qiymatli aniqlanadi.