Hosilaning tasviri va tasvirning hosilasi reja

Hosila hisoblash qoidalari

Quyida keltirilgan teoremalar isbotida hosila topish algoritmidan, limitga ega bo‘lgan funksiyalar ustida arifmetik amallar haqidagi teoremalardan foydalanamiz. Shuningdek Du=u(x+Dx)-u(x) va Dv=v(x+Dx)-v(x) ekanligini hisobga olgan holda, u(x+Dx)=u(x)+Du, v(x+Dx)=v(x)+Dv tengliklardan foydalanamiz.

u(x) va v(x) funksiyalar (a,b) intervalda aniqlangan bo‘lsin.
Yig‘indining hosilasi.
1-teorema. Agar u(x) va v(x) funksiyalarning xÎ(a,b) nuqtada hosilalari mavjud bo‘lsa, u holda f(x)=u(x)+v(x) funksiyaning ham x nuqtada hosilasi mavjud va
f’(x)=u’(x)+v’(x) (4.1)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isboti. 1⁰. f(x)=u(x)+v(x).
2⁰. f(x+Dx)= u(x+Dx)+ v(x+Dx)= u(x)+Du+ v(x)+Dv.
3⁰. Dy= f(x+Dx)- f(x)= Du+Dv.
4⁰. .
5⁰. .
Shunday qilib, (4.1) tenglik o‘rinli ekan. Isbot tugadi.
Misol. (x²+1/x)’=(x²)’+(1/x)’=2x-1/x².
Matematik induksiya metodidan foydalanib, quyidagi natijani isbotlash mumkin:
Natija. Agar u₁(x), u₂(x), ... ,u_n(x) funksiyalarning x nuqtada hosilalari mavjud bo‘lsa, u holda f(x)= u₁(x)+ u₂(x+ ...+u_n(x) funksiyaning ham x nuqtada hosilasi mavjud va quyidagi formula o‘rinli bo‘ladi:
f’(x)=( u₁(x)+ u₂(x+ ...+u_n(x))’= u’₁(x)+ u’₂(x+ ...+u’_n(x) .
Ko‘paytmaning hosilasi.
2-teorema. Agar u(x) va v(x) funksiyalar xÎ(a,b) nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda ularning f(x)=u(x)×v(x) ko‘paytmasi ham xÎ(a,b) nuqtada hosilaga ega va
f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x) (4.2)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isboti. 1⁰. f(x)=u(x)×v(x).
2⁰. f(x+Dx)=u(x+Dx)×v(x+Dx)=(u(x)+Du)×(v(x)+Dv)=
=u(x)v(x)+Duv(x)+Dvu(x)+ DuDv.
3⁰. Dy= f(x+Dx)- f(x)= Duv(x)+Dvu(x)+DuDv.
4⁰. .
5⁰. = =
=u’(x)×v(x)+u(x)×v’(x)++u’(x)× Dv.
Bunda v(x) funksiyaning uzluksizligini e’tiborga olsak Dv=0 va natijada (4.2) formulaga ega bo‘lamiz.