Hozirgi bosqichda reaksiyalarni tavsiflovchi matematik modellarni ishlab chiqish va rivojlantirish ion-adveksiya-diffuziya tizimlari fundamental ilmiy va amaliy ifodalaydi tic qiziqish

Kirish
Hozirgi bosqichda reaksiyalarni tavsiflovchi matematik modellarni ishlab chiqish va rivojlantirish ion-adveksiya-diffuziya tizimlari fundamental ilmiy va amaliy ifodalaydi tic qiziqish. Matematik shaklda bunday tizimlarni apparatlar yordamida tasvirlash mumkin oddiy differensial tenglamalar qatori va qisman differensial tenglamalar [1-9]. Qisman ishlab chiqarishda chiziqli bo'lmagan evolyutsiya tenglamalaridan foydalanishga misollar Ulardan asosiylari Shredinger tenglamasi [4, 9] boʻlib, u zarrachalarning holat ehtimoli va dinamikasini tavsiflaydi. kvant mexanikasida; Nerv impulslarining tarqalishini modellashtiradigan Nagumo tenglamasi biologik tizimlar [4, 7]; Osiyo va qiymatini aniqlash uchun Blek Skoulz tenglamasi Yevropa variantlari [5]; Landau nazariyasining fazaviy o'tishlarni ifodalash uchun formalizmi, super- optik tolali o'tkazuvchanlik va jarayonlar [3]; “reaktsiya-diffuziya-konveksiya” tenglamalari (advec- tion, drift)" fizika va kimyoda (kimyoviy reaksiyalar va diffuziya hodisalarini tavsiflash uchun) [4, 8, 9], issiqlik va massa almashinuvi nazariyasida [1], geologiyada, atrof-muhitni bashorat qilish va monitoringi muammolarida. ekologiya [6].

Ushbu mavzu doirasida tadqiqotning dolzarb va istiqbolli yo'nalishi ishlab chiqilmoqda. qo'llaniladigan hal qilish uchun mo'ljallangan hisoblash sxemalarini botka va dasturiy ta'minotni amalga oshirish reaktsiya-diffuziya modellari bilan tasvirlangan muammolar. Bu o'ziga xos xususiyatlar bilan bog'liq ilovalar, hisoblash sohasining geometriyasini tanlash, maxsus rejimlarni o'rnatish (kechikish, nochiziqlilik, ommaviy axborot vositalarining harakati, konvektiv transport, o'z-o'zini tashkil etish va boshqalar) [2]. Eng muhimlari orasida reaksiya-diffuziya tenglamalari yordamida rasmiylashtirilgan amaliy masalalarni ajratish mumkin biologik jamoalar, xususan, bakterial koloniyalar modellari sinfi. Bunday jamoalarda sodir bo'layotgan jarayonlarni rasmiylashtirish qiyin.
Ushbu fanlararo yondashuvda bakteriya oddiy va ibtidoiy organizm sifatida qaralmaydi, balki "kvorumni sezuvchi" kvorum tuyg'usiga (tashqi patogenlarga birgalikda harakat qilish qobiliyati) ega bo'lgan ushbu jamoaning kollektiv xatti-harakatlarining tavsifi kiritiladi. [10-12]. Bakteriyalarning antibiotiklar ta'siriga moslasha olish qobiliyati va odamlarning bakterial jamoaning tashqi ta'sirlarga reaktsiyasini bashorat qilish va nazorat qilish zarurati tufayli bu soha biologiyada alohida ahamiyatga ega [12]. Matematik va kompyuter modellashtirish nuqtai nazaridan ushbu yondashuv har tomonlama tahlil va ishlab chiqishni talab qiladi (teskari aloqa va kechikish effekti mavjudligini hisobga olgan holda o'zgartirilgan modellarni ishlab chiqish, modellarni amalga oshirish uchun hisoblash sxemalarini ishlab chiqish, kompyuter modellashtirish tizimini hisobga olgan holda loyihalash). ma'lum bir fan sohasidagi nazorat parametrlari to'plami, natijalarni sharhlash va tahlil qilish).
Bakteriyalar koloniyalarining aloqasi paytida "kvorumni sezish" ni tavsiflovchi mexanizmni oddiy differensial tenglamalar tizimi shaklida matematik tasvirlash mumkin [13-17]. Asosiy matematik modellar aholining o'sish qonuniyatlarini hisobga olgan holda rasmiylashtirishga imkon beradi, salbiy teskari aloqa mavjudligi, kechikish effektining mavjudligi va boshqalar. Ikkinchisi tizimda "laktonaza" fermentining faollashishi bilan bog'liq bo'lishi mumkin [14]. Biroq, ko'pgina tabiiy vaziyatlarda hujayralarning fazoviy taqsimlanishini va buning natijasida ularning tashqi ta'sirlarga bo'lgan munosabatining heterojen taqsimlanishini hisobga olish kerak. Bakterial dinamikaning qanday modellashtirilganiga qarab, oziqlanishning fazoviy taqsimoti aniqlanadi, bu nafaqat hujayralarning fazoviy tarqalishiga bog'liq, balki o'zi ham bakteriyalar o'sishiga ta'sir qiladi. Bakteriyalar va kimyoviy faol fermentlar o'ziga xos tortishish va konsentratsiyalar yordamida modelda ko'rsatilgan. O'zgartirilgan matematik modellar reaksiya-diffuziya tenglamalari ko'rinishida tasvirlangan, parabolik qisman differentsial tenglamalar yordamida rasmiylashtirilgan .
Ushbu ishning maqsadi matematik fizikaning evolyutsion tenglamalarini echish uchun samarali hisoblash algoritmlaridan foydalanishga asoslangan biologik hamjamiyat aloqasining reaktsiya-diffuziya jarayonini raqamli modellashtirishga yondashuvni ishlab chiqish edi.
Modellashtirish muammosining bayoni
“Reaksiya-diffuziya” tipidagi tenglama uchun bir o‘lchovli boshlang‘ich-chegaraviy masala ko‘rinishida matematik modelni tuzamiz [17]:
JU(x,t) = DAU (x,t)-yU (x,t)+F(x,U), 0≤x≤L, Ostsi,
U(0,t)=0, U(L,t) = 0,
U(x,0)=0,
(1)
(2)
(3)
bu yerda U(x,t) aminokislota konsentratsiyasi x nuqtada 1 vaqtda, mol/l; D - diffuziya koeffitsienti zi aminokislotalar, m³/soat; y abiotik (tashqi omillar tufayli) tezlikning pasayishi aminokislota hosil bo'lishi, 1/soat; masshtabsiz asosiy aminokislota ishlashi bilan, mol/(l-soat); aminokislota hosil bo'lish manbasini va reaksiya atamasini tavsiflovchi funktsiya
F(x)=f(U)(x), (x), f(U)=a+BU25/(U23 + U25), mol/ (birlik soat);
(x) - qat'iy o'lchamdagi har bir katak uchun Dirac delta funktsiyasi.
E'tibor bering, (1) tenglamaning o'ng tomonidagi birinchi had diffuziya muddati uchun javobgardir
X/- emoment, ikkinchi va uchinchisi esa reaksiya komponentini ifodalaydi.

Hisoblash sxemasi
Cheklangan farq usuli mafkurasiga asoslangan holda (1)-(3) formulada matematik modelni amalga oshirish uchun hisoblash sxemasini tuzamiz. Keling, chekli farqli to'rni kiritamiz:
={x=(i-1)h, i=1,N,1,=(j-1), j=1,M}.
Parabolik tipdagi tenglamalarni echish uchun ishlatiladigan an'anaviy sxemalar orasida quyidagilarniajratib ko'rsatish mumkin :
aniqlik tartibining aniq sxemasi (h,t) amalga oshirish oson, lekin faqat shartli barqarorlikka ega;
aniqlik tartibining yashirin sxemasi O(h², r) har bir vaqt bosqichida chiziqli algebraic tenglamalar tizimini echishni talab qiladi va mutlaqo barqaror;
O(h², m²) tartib aniqligining Krank-Nikolson sxemasi shartsiz barqarorlikka ega boʻlgan aniq-yoʻriqchi sxemadir.
Biroq, agar qo'llaniladigan muammoga sezilarli diffuziya koeffitsienti berilgan bo'lsa, zii, keyin Krank Nikolsonning algoritmik jihatdan jozibali va mutlaqo barqaror sxemasi butun sxemaning monotonligini cheklashga olib keladi. Yuqoridagi sxema qo'llanilsa, yechim faqat Furye mezoniga muvofiq belgilangan "kichik" vaqtlarda qurilishi mumkin:
F = D,
Dt
(4)
(i-1,j+1)
(i,j+1) h
(i+1,j+1)
bu yerda 1 Has mos ravishda vaqt va masofa shkalasi hisoblanadi.
Ma'lumki, yashirin sxemalarda bu yo'q ahvolga tushib qolish (monotoniyani yo'qotish), shuning uchun bunda shakllantirishda modelni raqamli amalga oshirish uchun ishlash (1)-(3) ikki qavatli yashirindan foydalanish taklif etiladi ikkinchi darajali aniqlik sxemasi O(h², m²), chekli farqi rasmda ko'rsatilgan. 1.
Keling, uzluksiz muammoni bog'laymiz (1) - (3) uning diskret analogi. Transformatsiya natijasida
2-maydonning barcha ichki tugunlari uchun biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
2D1
h² 4D
soat

201
U=4U-U+2F/t,

(5)

bu yerda i = 2,N-1, j=1,M-1.

Birinchi bosqichda j=0 "fikrli" vaqt qatlamiga kirish amalga oshiriladi, buning uchun kerakli funktsiyaning qiymatlari boshlang'ich vaqtdagi qiymatga teng bo'ladi.
Muammo barcha i = 1, N uchun U = 0 boshlang'ich shartini o'rnatish bilan yakunlanadi chegara shartlari va barcha j = 1 uchun U = 0, U = 0, M.
Chegara tugunlari uchun (5) tenglama birinchisining chegara shartlarini hisobga olgan holda o'zgartiriladi turdagi (7). Har bir vaqt qatlamida chiziqli algebraik tenglamalar tizimi echiladi Bu juda aniq va samarali prokat usuli yordamida amalga oshiriladi. Algoritmning dasturiy ta'minoti amalga oshirildi Matlab PPP muhitida. Algoritmning ishlashini tekshirish model muammolari bo'yicha amalga oshirildi qaysi analitik yechimlar ma'lum, shuningdek, sonli natijalarni taqqoslashga asoslangan, asoslangan yashirin sxema va Krank Nikolson sxemasi yordamida olingan.