Ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli bo`lmagan differensial tenglamalar. Lagranjning o`zgarmasni variatsiyalash usuli. Reja

TEOREMA. Agar harakteristik tenglamaning k karrali ildizi bulsa, bu ildizga mos bo’lgan (2) sistemaning yechimlari
(11)
ko’rinishda bo’ladi.
Bunda lar ga nisbatan darajasi dan katta bo’lmaganko’p xadlilardir. Bu ko’p xadlilarning har birida ta o’zgarmas sonlar qatnashadi. Bu ko’pxadlilarning hammasidagi hamma koeffisiyentlardan tasi ixtiyoriy bo’lib, qolgan koeffisiyentlar shu ta koeffisiyentlar orqali ifodalanadi.Xususiy holda ko’pxadlilar o’zgarmas songa teng bo’lishi mumkin. Bu holda harakteristik ildizga mos bo’lgan (2) sistemaning yechimi

bo’ladi.
Bundagi sonlardan k tasi ixtiyoriy bo’lib, qolgan koeffisiyentlar ular orqali ifodalanadi.
Amaliyotda ko’pxadlilarning koeffisiyentlarini topish uchun, ularni berilgan (2) sistemaga kuyib, bu ko’pxadlalarning koeffisiyentlariga nisbatan tenglamalar sistemasiga ega bulamiz. Bu koeffisiyentlardan k tasini ixtiyoriy deb, qolgan koeffisiyentlarni ular orqali ifodasini topamiz.
Misol 3


bularni berilgan tenglama kuyib, aniqmas koeffisiyentlar metodidan foydalansak larga nisbatan tenglamalar sistemasiga ega bulamiz.

bulardan

yechimlar

xususiy yechimlarni topish
1)
2)
3)
Agarda desak,



O’zgarmas koeffisientli chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglamalar sistemasi

O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamalar sistemasini umumiy ko’rinishi

dan iborat, bunda o’zgarmas sonlar. esa ko’rilayotgan oraliqda aniqlangan va uzluksiz funksiyadir.
O’zgarmas koeffisientli chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglamalar sistemasi quyidagi ko’rinishda yozamiz
(1)
chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglamaning xususiy yechimini ham funksiyalar ko’rinishdagi funk­siya­larning yig’indisi, ko’paytmasi va ularning yig’indisidan iborat bo’lsa, noma’lum koeffisiyentlar usuli bilan qidirish mumkin. Albatta, bu yerda ham (ayrim o’zgarishlar bilan) xuddi o’zgarmas koeffisiyentli tenglamalardagidek ish qilinadi. Agar bo’­lib, – tartibli ko’phad bo’lsa, (1) tenglamaning xususiy yechimi ko’rinshda emas,

ko’rinishda qidiriladi, bu yerda tartibli, noma’lum koeffisiyentli ko’phad; agar harakteristik tenglamaning ildizi bo’lmasa agar harakteristik tenglamaning ildizi bo’lmasa, s sifatida bu ildizning karraligini olish kerak. (9) dagi noma’lum koeffisiyentlar (9) ifodani (8) tenglamaga qo’yib, o’xshash hadlar koeffisiyentlarini tenglashtirish yordamida topiladi.
funksiya va funksiyalarni o’z ichiga olgan bo’lib, harakteristik tenglamaning ildizi bo’lganda ham (9) ifodadagi ko’phadning tartibi yuqoridagiga o’xshash aniq­lanadi.