İlyas həSƏnov həNDƏSƏ Çoxbucaqlılar (Teoremlərin isbatı) baki 2009

12) Oxşar çoxbucaqlıların sahələri nisbəti, onların uyğun xətti ölçülərinin kvadratları nisbətinə bərabərdir.
Isbatı:
Tutaq ki, ABCDE....və A₁B₁C₁D₁E₁.... oxşar n-bucaqlıları verilmişdir. Məlumdur ki, oxşar çoxbucaqlıları bərabər sayda oxşar və eyni orientasiyalı üçbucaqlara ayırmaq olar. Tutaq ki, ABCDE....çox­bu­­caqlısının bölündüyü üçbucaqlar S₁, S₂...,S_n, A₁B₁C₁D₁E₁...çox­bu­­caqlısının bölündüyü üçbucaqlar olsun. Onda bu üçbucaqlar oxşar olduğu üçün (iki mütənasib tərəfinə və onlar arasındakı bərabər bucağa görə)

Burada k oxşarlıq əmsalıdır.
Düzgün çoxbucaqlılar
Düzgün qapalı sınıq xəttlə məhdud edilmiş fiqura düzgün çoxbucaqlı deyilir. Qeyd edək ki, sınıq xətt o vaxt düzgün hesab edilir ki, aşağıdakı üç şərti yerinə yetirsin:
a) Sınıq xətti əmələ gətirən düz xətt parçaları bərabərdir.
b) Qonşu tərəflərin əmələ gətirdiyi bucaqlar bərabərdir.
c) Sınıq xəttin üç ardıcıl tərəflərindən birinci və üçüncüsü ikinci tərəfdən bir tərəfə yerləşir.
Düzgün çoxbucaqlıda ixtiyari çoxbucaqlı kimi qabarıq və ya qabarıq olmaya bilər. Aşağıdakı şəkildə qabarıq və qabarıq olmayan düzgün beşbucaqlı göstərilmişdir.


Daxilə və xaricə çəkilmiş düzgün çoxbucaqlılar
Düzgün çoxbucaqlının qurulması çevrənin bərabər hissələrə bölünməsi ilə sıx əlaqədardır.
Teorem
Çevrəni bərabər hissələrə bölüb (ikidən çox), qonşu nöqtələri vətərlərlə birləşdirsək çevrə daxilinə çəkilmiş düzgün çoxbucaqlı alınır.
Isbatı:
O mərkəzli və R radiuslu çevrəni A₁A₂...A_n nöqtələri ilə bərabər bucaq ölçülü qöv­s­lə­rə bölək və bu nöqtələri düz xətt parçaları ilə birləşdirək. Nəticədə A₁A₂...A_nn-bucaqlısı alınacaq. Burada A₁A₂...A_n nöqtələri çoxbucaqlının təpə nöqtələri, A₁A₂, A₂A₃,..,A_n-1 A_n , A_nA₁-tərəfləri, -daxili bu­caq­lardır. Gös­tə­­­rək ki, və .
Üçbucaqların bərabərliyinin birinci əlamətinə görə . Həqiqətən də çevrənin radiusları kimi OA₁ = OA₂ = ...= OA_n və bərabər qöv­s­lərə söykənən mərkəzi bucaqlar kimi . Lakin bə­ra­­bər üçbu­caqlarda uyğun tərəflər və uyğun bucaqlar bərabər olduğundanA₁A₂ = A₂A₃= =...=A_nA₁ və .
Tərs teorem də doğrudur.
Çoxbucaqlının bütün tərəfləri və daxili bucaqları bərabərdirsə, belə çoxbucaqlı düz­gün çoxbucaqlıdır.
Isbatı:
Tutaq ki, A₁A₂...A_n çox­bu­­caqlısında A₁A₂ = A₂A₃ = ...=A_nA₁, . Göstərək ki, A₁A₂...A_n çox­bu­­caqlısı düzgün çoxbucaqlıdır. Bunun üçün və -ün tənbölənlərini çəkək. O nöqtəsi onların kəsişmə nöqtəsi olsun. Bütün digər tə­­pə nöqtələrini O nöqtəsi ilə birləşdirək. və -də OA₂ ortaq tərəf, A₁A₂ = A₂A₃ , olduğundan üçbucaqların bərabərliyinin birinci əla­­­­­­mə­­tinə görə bu üçbucaqlar bərabərdir, yəni . Deməli OA₁= OA₂ =OA₃və və OA₃ düz xətti -ün tənbö­lə­ni­dir. Uyğun qayda ilə almaq olar. On­da və deməli , yəniA₁O, A₂O,..., A_nO şüaları -in tənbölənidir. Belə­liklə verilmiş çoxbucaqlı düzgün çoxbucaqlıdır.
Düzgün çoxbucaqlının alınmasının daha iki üsulunu göstərək.
a) Çevrəni bərabər qövslərə bölüb, bölünmə nöqtələrindən bir-biri ilə kəsişənə qədər çevrəyə toxunanlar çəksək, çevrə xaricinə çəkilmiş düzgün çoxbucaqlı alınır.
b) Çevrənin O mərkəzindən AB, BC, CD vətərlərinə perpendikulyar düz xəttlər endi­rək və onların çevrə kəsişmə nöqtələri olan M,N,Knöqtələrindən toxunanlar keçirtsək, tərəfləri daxilə çəkilmiş çoxbucaqlının tərəflərinə paralel düzgün çoxbucaqlı alınar.
Düzgün çoxbucaqlıların alınmasının son iki üsulunu analoji qayda ilə isbat etmək olar.