Dastlab ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri “tasodifiy hodisa” tushunchasini keltiramiz. Natijasini oldindan aytib bo‘lmaydigan tajriba o‘tkazilayotgan bo‘lsin. Bunday tajribalar ehtimollar nazariyasida tasodifiy deb ataladi.
Tasodifiy hodisa(yoki hodisa) deb, tasodifiy tajriba natijasida ro‘y berishi oldindan aniq bo‘lmagan hodisaga aytiladi.
Hodisalar, odatda, lotin alifbosining bosh harflari …lar bilan belgilanadi.
Tajribaning har qanday natijasi elementar hodisa deyiladi va orqali belgilanadi.
Tajribaning natijasida ro‘y berishi mumkin bo‘lgan barcha elementar
hodisalar to‘plami elementar hodisalar fazosi deyiladi va orqali belgilanadi.
1-misol. Tajriba nomerlangan kub(o‘yin soqqasi)ni tashlashdan iborat bo‘lsin. U holda tajriba 6 elementar hodisadan hodisalar lardan iborat bo‘ladi. hodisa tajriba natijasida ochko tushishini bildiradi. Bunda elementar hodisalar fazosi: .
Tajriba natijasida albatta ro‘y beradigan hodisaga muqarrar hodisa deyiladi.
Elementar hodisalar fazosi muqarrar hodisaga misol bo‘la oladi.
Aksincha, umuman ro‘y bermaydigan hodisaga mumkin bo‘lmagan hodisa deyiladi va u orqali belgilanadi.
1.1-misolda keltirilgan tajriba uchun quyidagi hodisalarni kiritamiz:
A={5 raqam tushishi};
B={juft raqam tushishi};
C={7 raqam tushishi};
D={butun raqam tushishi};
Bu yerda va hodisalar tasodifiy, hodisa mumkin bo‘lmagan va D hodisa muqarrar hodisalar bo‘ladi.
3 Hodisalar ustida amallar
Tasodifiy hodisalar orasidagi munosabatlarni keltiramiz:
va hodisalar yig‘indisi deb, va hodisalarning kamida bittasi(ya’ni yoki , yoki , yoki va birgalikda) ro‘y berishidan iborat ( ) hodisaga aytiladi.
va hodisalar ko‘paytmasi deb, va hodisalar ikkilasi ham(ya’ni va birgalikda)ro‘y berishidan iborat ( )hodisaga aytiladi.
hodisadan hodisaning ayirmasi deb, hodisa ro‘y berib, hodisa ro‘y bermasligidan iborat ( ) hodisaga aytiladi.
hodisaga qarama-qarshi hodisa faqat va faqat hodisa ro‘y bermaganda ro‘y beradi(ya’ni hodisa A hodisa ro‘y bermaganda ro‘y beradi). ni uchun teskari hodisa deb ham ataladi.
Agar hodisa ro‘y berishidan hodisaning ham ro‘y berishi kelib chiqsa hodisa hodisani ergashtiradi deyiladi va ko‘rinishida yoziladi.
Agar va bo‘lsa, u holda va hodisalar teng(teng kuchli) hodisalar deyiladi va ko‘rinishida yoziladi.
1.2-misol. va -ixtiyoriy hodisalar bo‘lsin. Bu hodisalar orqali quyidagi hodisalarni ifodalang: D={uchchala hodisa ro‘y berdi}; E={bu hodisalarning kamida bittasi ro‘y berdi}; F={bu hodisalarning birortasi ham ro‘y bermadi}; G={bu hodisalarning faqat bittasi ro‘y berdi}.
Hodisalar ustidagi amallardan foydalanamiz: ;
; ; .
Demak hodisalarni to‘plamlar kabi ham talqin etish mumkin ekan.
Belgilash
To‘plamlar nazariyasidagi talqini
Ehtimollar nazariyasidagi talqini
Fazo (asosiy to‘plam)
Elementar hodisalar fazosi, muqarrar hodisa
fazo elementlari
elementar hodisa
A to‘plam
A hodisa
,
va to‘plamlarning yig‘indisi, birlashmasi
va hodisalar yig‘indisi ( va ning kamida biri ro‘y berishidan iborat hodisa)
,
va to‘plamlarning kesishmasi
va hodisalar ko‘paytmasi ( va ning birgalikda ro‘y berishidan iborat hodisa)
,
to‘plamdan to‘plamning ayirmasi
hodisadan hodisaning ayirmasi( ning ro‘y berishi, ning ro‘y bermasligidan iborat hodisa)
Bo‘sh to‘plam
Mumkin bo‘lmagan hodisa
to‘plamga to‘ldiruvchi
hodisaga teskari hodisa( ning ri’y bermasligidan iborat)
,
va to‘plamlar kesishmaydi
va hodisalar birgalikda emas
to‘plam ning qismi
hodisa ni ergashtiradi
va to‘plamlar ustma-ust tushadi
va hodisalar teng kuchli
Hodisalar va ular ustidagi amallarni Eyler-Venn diarammalari yordamida tushuntirish(tasavvur qilish) qulay. Hodisalar ustidagi amallarni 1-5 rasmlardagi shakllar kabi tasvirlash mumkin.
A-B
1-rasm. 2-rasm.
AB
BAB
AB
3-rasm. 4-rasm.
5-rasm.
Hodisalar ustidagi amallar quyidagi xossalarga ega:
;
;
;
;
;
;
, ;
;
va - de Morgan ikkilamchilik prinsipi.
1.3-misol.
a) ifodani soddalashtiring.
Yuqoridagi xossalardan foydalanamiz:
Demak, ekan.
b) formulani isbotlang.