İxtisas : Riyaziyyat və informatika müəllimliyi Fənn : Kompleks dəyişənli funksiyalar nəzəriyyəsi Kafedra: Riyazi analiz və funksiyalar nəzəriyyəsi

2. Loran sırasına görə məxsusi nöqtələrin təsnifatı

Verilmiş halqasında analitik olan funksiyası həmin oblastın daxilində fərqinin mənfi və müsbət qüvvətlərinə görə düzəlmiş aşağıdakı sıra şəklində göstərilə bilər: (1) Burada əmsalları (2)

düsturu ilə təyin olunur.(1) sırasına funksiyasının halqasında Loran sırası deyilir. Loran sırasının əmsalları (2) düsturu ilə hesablanır.
Loran sırası iki hissədən ibarətdir. Loran sırasının ( ) fərqinin müsbət qüvvətlərinə görə düzəlmiş birinci hissəsinə onun düzgün hissəsi deyilir. ( ) fərqinin mənfi qüvvətlərinə görə düzəlmiş sırasına isə Loran sırasının baş hissəsi deyilir.
Loran sırasının yığılma oblastını tədqiq edək. Loran sırasının düzgün hissəsi
(3)bizə məlum olan adi qüvvət sırasıdır. (3) qüvvət sırasının yığılma oblastı mərkəzi a nöqtəsində olan R radiuslu dairədir. Bu dairənin çevrəsi üzərində funksiyasının və eləcə də (1) Loran sırasının cəmi olan funksiyasının heç olmasa bir məxsusi nöqtəsi olmalıdır. Deməli, (1) Loran sırasının düzgün hissəsi hər hansı dairəsi daxilində yığılandır.
Loran sırasının baş hissəsi olan (4)sırası dəyişəninə görə qüvvət sırasıdır: (5).(5) qüvvət sırasının yığılma oblastı isə mərkəzi nöqtəsində olan hər hansı radiuslu dairə olar. Bu dairənin çevrəsi üzərində həmin sıranın cəminin heç olmasa bir məxsusi nöqtəsi olmalıdır. çevirməsindən dəyişənini tapaq: .Aydındır ki, dəyişəni mərkəzi nöqtəsində olan radiuslu dairə daxilində dəyişdikdə, yəni olduqda, olar, yəni dəyişəni mərkəzi a nöqtəsində olan radiuslu dairənin xaricində dəyişər. Buradan aydındır ki, (4) sırasının yığılma oblastı mərkəzi a nöqtəsində olan r radiuslu hər hansı dairənin xaricidir: . Bu dairənin çevrəsi üzərində isə (4) sırasının cəmi olan funksiyasının və buna görə də, (1) Loran sırası cəminin heç olmasa bir məxsusi nöqtəsi olmalıdır.
Buradan çıxır ki, (1) Loran sırasının baş hissəsi hər hansı dairəsi xaricində yığılandır.
Aldığımız nəticələr göstərir ki, (1) Loran sırasının yığılma oblastı şəklində halqadır və halqanın və ya çevrələri üzərində onun cəminin heç olmasa bir məxsusi nöqtəsi olmalıdır.
Xüsusi halda, Loran sırasının cəmi dairəsi daxilində analitik funksiya olarsa, yəni nöqtəsi -in düzgün nöqtəsi olarsa, onda Loran sırasının mənfi indeksli bütün
əmsalları sıfra bərabər olar: . Bu halda (1) Loran sırası, əmsalları (2) düsturu ilə hesablanan Teylor sırasına çevrilər. Deməli, Teylor sırası Loran sırasının xüsusi halıdır.Funksiyaların Loran ayrılışından istifadə edərək, onların izolə edilmiş məxsusi nöqtələri ətrafında özlərini necə aparmasını müəyyən etmək olar.
funksiyasının məxsusi nöqtəsinə o zaman izolə edilmiş məxsusi nöqtə deyilir ki, bu nöqtənin yaxın ətrafında həmin funksiyanın a-dan başqa heç bir məxsusi nöqtəsi olmasın. Bu o deməkdir ki, nöqtəsinin elə ətrafı vardır ki, bu nöqtə müstəsna olmaqla funksiyası həmin ətrafda analitikdir.
funksiyasının izolə edilmiş məxsusi nöqtələrini üç növə ayırmaq olar:
I. Aradan qaldırıla bilən məxsusi nöqtələr. İzolə edilmiş məxsusi nöqtəsi o zaman aradan qaldırıla bilən məxsusi nöqtə adlanır ki, limiti sonlu olsun.
II. Polyuslar. şərtində , yəni olarsa, onda izolə edilmiş məxsusi nöqtəsinə funksiyasının polyusu deyilir.
III. Təbii məxsusi nöqtələr. şərtində funksiyasının heç bir limiti yoxdursa, onda izolə edilmiş məxsusi nöqtəsinə funksiyasının təbii məxsusi nöqtəsi deyilir.