Kompleks o‘zgaruvchining funksiyasidan olingan integral

Integralning asosiy xossalari
1⁰ O`zgarmas ko`paytuvchini integral belgisi tashqarisiga chiqarish mumkin, ya`ni: (1.7)
2<sup>0</sup> Integrallash konturining yo`nalishi qarama-qarshisiga o`zgartirilsa, integral belgisi oldidagi ishora ham o`zgaradi: (1.8)
3⁰ Chekli sondagi funksiyalar yig`indisidan olingan integral uning har bir hadidan olingan integrallar yig`indisiga teng: (1.9)
4⁰ Agar uzlukli bilan chiziqning hamma nuqtalarida son uchun bo`lsa, u holda (1.10) bo`ladi. Bu xossa integralni baholash teoremasi ham deyiladi.
5⁰ (1.11), bunda egri chiziq yoylaridan tuzulgan bo`lib, ning oxirgi nuqtasi ning uchi bilan ustma-ust tushgan
6<sup>0</sup> (1.12).
Boshlang`ich funksiya va aniqmas integral
Faraz qilaylik, funksiya sohada aniqlangan bo`lsin.
Ta`rif. Agar sohaning barcha nuqtalarida tenglik o`rinli bo`lsa, funksiya funksiyaning boshlang`ich funksiyasi deyiladi.
Agar sohada funksiya funksiyaning boshlang`ich funksiyasi bo`lsa, ( -ixtiyoriy o`zgarmas kompleks son) ham funksiyaning boshlang`ich funksiyasi bo`ladi.
Haqiqatdan ham, (1.13).
Berilgan funksiyaning hamma boshlang`ich funksiyalari aniqmas integral deyilib, ushbu simvol bilan belgilanadi. Demak, (1.14)
2. Integralni hisoblash
Bizga ma`lumki, egri chiziqli integralni hisoblash uchun chiziqning tenglamasi parametrik holda berilgan bo`lishi kerak.
Aytaylik silliq (Jordan chizig`i)ning parametrik tenglamasi , , ko`rinishda bo`lsin. U holda uning kompleks tekislikdagi ko`rinishi bo`ladi, bunda , ; . Bularni e`tiborga olsak: yoki (2.1) bo`ladi. Chap tomondagi integral belgisi ostidagi funksiyaning haqiqiy qismini bilan, mavhum qismini esa bilan belgiladik.
Shunday qilib, kompleks o`zgaruvchining integralini hisoblash aniq integralini hisoblashga keltirildi.
Misol. (1.6) formuladan va II tur egri chiziqli integralni yechish qoidasidan foydalanib integralni hisoblang, bunda chiziq soat strelkasiga teskari yo`nalgan aylananing yuqori yarmi.
Yechish. aylananing parametrik tenglamasi va larni hisobga olsak:
Agar funksiya bir bog`lamli sohada analitik bo`lsa , nuqtalar uchun (2.2) N`yuton-Leybnits formula o`rinli bo`ladi, bunda funksiya funksiyaning boshlang`ich funksiyasidir, ya`ni
Haqiqiy matematik analizdagi kabi, agar va funksiyalar bir bog`lamli sohada analitik funksiyalar bo`lib, nuqtalar uchun (2.3) bo`laklab integrllash formulasi o`rinlidir.