Kompyuter injiniringi fakulteti

1.3.Matritsaning normasi

𝐴 matritsaning normasi normasi 𝑛𝑜𝑟𝑚(𝐴, 𝑃) funksiyasi yordamida hisoblanadi. Bu yerda 𝑃 – norma turini bildiruvchi parameter bo‘lib quyidagi qiymatlarni qabul qiladi
1 - ‖𝐴‖₁ , 2- ‖𝐴‖₂ , inf - ‖𝐴‖_∞ .

1. 
   Ustunlar bo‘yicha matritsa uchun:
   

𝑛
‖𝐴‖₁ = мах ∑|𝑎_𝑖𝑗|
𝑖=1
Vektorlar uchun
𝑚
‖𝑋‖₁ = ∑|𝑥_𝑖|
𝑖=1

2. 
   Satr bo‘yicha matritsalar uchun
   

𝑚
‖𝐴‖_∞ = мах ∑|𝑎_𝑖𝑗|
𝑗=1
Vektorlar uchun
‖𝑋‖_∞ = мах|𝑥_𝑖|

3. 
   ‖𝐴‖
   

‖𝑋‖ |𝑎_𝑖|²
Misol
1 3 7
A = [ 2 5 6] Matritsaning turli normalarini hisoblang
−1 4 3

Kompleks qiymatli matritsalar normasi 𝑛𝑜𝑟𝑚(𝐴) funksiyasi yordamida hisoblanadi
Misol
2 + 𝑖 1 − 2𝑖 −3 + 𝑖

1.4.Matritsaning ortonormal bazisi

𝐴 matritsaning ortonormal bazisi deb 𝑚 × 𝑟 o‘lchamli 𝑈 =
(𝑈₁, 𝑈₂, … , 𝑈_𝑖, … , 𝑈_𝑟) matritsaga aytiladi, bu yerda 𝑟 matritsa rangi.
𝑈 –matritsa chiziqli erkli bazis ustunlardan tashkil topadi, ya’ni bu ustunlar jufti bilan ortogonal va normallashgan, ya’ni
0, 𝑖 ≠ 𝑙 𝑈𝑖 𝑈𝑙 = {1, 𝑖 = 𝑙
𝑖, 𝑙 = 1, 2, … . , 𝑟.
Ortonormal bazis 𝑜𝑟𝑡ℎ(𝐴) funksiyasi yordamida aniqlanadi
Misol

1. 
   3 5
   
2. 
   7 8 matritsaning o‘tranormal bazisini aniqlang
   

𝐴 = [ ]
4 1 −2
3 5 5

Tekshirish 𝑈̀ ∗ 𝑈

1.5.Matritsaning xos sonlari va xos vektorlari

Matritsaning xos sonlari va xos vektori faqat kvadrat matritsalar uchun o‘rinlidir 𝜆 soni 𝑛 tartibli 𝐴 matrisning xos soni deyiladi, agarda shunday 𝑛 o‘lchovli nol bo‘lmagan vektor tanlash mumkin bo‘lsin.
𝐴𝑥 = 𝜆𝑥 munosabat o‘rinli bo‘lsin
A matritsaning barcha xos sonlari to‘plami |𝐴 − 𝜆𝐸| = 0 tenglama yechimlari bilan ustma – ust tushadi, 𝜆 – erkli o‘zgaruvchi. Agar |𝐴 − 𝜆𝐸| determinantni yoysak, 𝜆ga nisbatan 𝑛 tartibli ko‘phad hosil bo‘ladi:
𝑎11 − 𝜆 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎𝑎
|𝐴 − 𝜆𝐸|
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 − 𝜆
= 𝑎_𝑛𝜆^𝑛 + 𝑎_𝑛−1𝜆^𝑛−1 + ⋯ + 𝑎₁𝜆 + 𝑎₀ Bu ko‘p had 𝐴 matritsaning xarakteristik ko‘phadi deyiladi. Nol bo‘lmagan 𝑋 vektor 𝐴 matritsaning 𝜆 xos soniga mos xos vektor deyiladi.
|𝐴 − 𝜆𝐸| = 0 tanglama 𝐴 matritsaning xarakteristik tenglamasi deyiladi. 𝐴 matritsaning xos son va xos vektorlari [𝑉, 𝐷] = 𝑒𝑖𝑔(𝐴) funksiyasi yordamida topiladi, 𝑉 – xos vektor matritsasi, 𝐷 – xos sonlar matritsasi Misol
2 3 5
𝐴 = [1 4 3]
5 2 1

𝐴𝑥 = 𝜆𝑥 tenglikni tekshiring

𝐴 kvadrat matritsa izi diaganal elementlari yig‘indisiga teng va 𝑡𝑟𝑒𝑐𝑒(𝐴) funksiyasi yordamida hisoblanadi. Misol:

1 A = [4 7 2 5 8 3 6] 9

Topshiriq

Quyidagi matritsalarning xarakteristikalarini hisoblang.