Yuqori tartibli xususiy hosilalar va differensiallar nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan funksiya shu
atrofda xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. Ular birinchi tartibli xususiy hosilalar deyiladi.
Bu hosilalar va o‘zgaruvchilarning funksiyalarini ifodalaydi. Bu funksiyalar xususiy hosilalarga ega bo‘lishi mumkin. Agar bu hosilalar mavjud bo‘lsa, ularga ikkinchi tartibli xususiy hosilalar deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
Uchinchi, to‘rtinchi va umuman tartibli xususiy hosilalar shu kabi aniqlanadi.
va hosilalarga ikkinchi tartibli aralash xususiy hosilalar deyiladi.
7-teorema. Agar funksiyaning ikkinchi tartibli aralash xususiy hosilalari nuqtaning biror atrofida mavjud va shu nuqtada uzluksiz bo‘lsa,
u holda ular shu nuqtada teng bo‘ladi, ya’ni
Bunday teorema istalgan yuqori tartibli xususiy hosilalar uchun ham o‘rinli
bo‘ladi. Masalan, uzluksiz uchinchi tartibli xususiy hosilalar uchun
tenglik bajariladi.
funksiyaning nuqtadagi to‘liq differensiali ga birinchi tartibli to‘liq differensial deyiladi.
nuqtada funksiya ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. U holda ikkinchi tartibli to‘liq differensial kabi aniqlanadi.
Uni topamiz:
Bundan
(16)
bu yerda
(16) formula simvolik ko‘rinishda
kabi yoziladi.
Ikki o‘zgaruvchi funksiyasining ekstremumlari funksiya biror sohada aniqlangan va bo‘lsin.
1-ta’rif. Agar nuqtaning shundav atrofi topilsaki, bu atrofning barcha nuqtadan farqli nuqtalarida tengsizlik bajarilsa, nuqtaga funksiyaning maksimum (minimum) nuqtasi deyiladi.
Funksiyaning maksimum va minimum nuqtalariga ekstremum nuqtalar deyiladi. Funksiyaning ekstremum nuqtadagi qiymati funksiyaning ekstremumideb ataladi
Ekstremum tushunchasi funksiya aniqlanish sohasining biror atrofi bilan bog‘liq. Shu sababli funksiya ekstremumga aniqlanish sohasining faqat ichki nuqtalarida erishadi va shu bilan birga funksiyaning ekstremumi lokal xarakterga ega bo‘ladi, ya’ni funksiya o‘zining aniqlanish sohasida bir nechta ekstremumga erishishi mumkin yoki umuman ekstremumga ega bo‘lmasligi mumkin.
