Ko’phadning ildizi. Bezu teoremasi. Gorner sxemasi

Ko’phadning ildizi . Bezu teoremasi. Gorner sxemasi
Reja:

1. 
   Ko’phadning ildizi
   
2. 
   Bezu teoremasi
   
3. 
   Gorner sxemasi
   

f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₂x²+a₁x+a₀ ko’phad berilgan bo’lsin.
Ta’rif. Agar x o’zgaruvchining biror a qiymatida f(x) ko’phadning qiymati nolga aylansa, bu a soni f(x) ko’phadning ham ildizi deyiladi.
f(x) ko’phadning ildizlarini aniqlash uchun uni nolga tenglashtirib yechish kerak.Bu tenglamaning ildizlari f(x) ko’phadning ham ildizlari bo’ladi.
1-misol f(x)=x⁴-13x²+36 ko’phadning ildizlarini toping.
Yechish. x⁴-13x²+36 _{ } x⁴-4x² -9x²+36=0 _{ } (x²-4)(x²-9)=0. Bu tenglama ikkita tenglamaga ajraladi:
1) x²-4=0 _{ }(x-2)(x+2)=0_{ }
2) x²-9=0 _{ } (x-3)(x+3)=0_{ }
Berilgan ko’phadning ildizlari: -3;-2;2;3 bo’ladi.
2-misol. f(x)=2x⁵+x⁴-10x³-5x²+8x+4=0 ko’phadning ildizlarini toping.
Yechish. 2x⁵+x⁴-10x³-5x²+8x+4=0 tenglamani yechamiz.
2x⁵-4x⁴+5x⁴-10x³-5x²+10x-2x+4=0
2x⁴(x-2)+5x³(x-2)-5x(x-2)-2(x-2)=0
(x-2)(2x⁴+5x³-5x-2)=0
(x-2)[2x⁴+2x³+3x³+3x²-3x²-3x-2x-2]=0
(x-2)(x+1)(2x³+3x²-3x-2]=0
(x-2)(x+1)(x-1)(2x²+5x+2)=0
(x-2)(x+1)(x-1)(2x+1)(x+2)=0
x₁=-0,5 ; x₂=-2 ;x₃=-1; x₄=2.
Shunday qilib, berilgan ko’phadning ildizlari -0,5 ; -2 ;-1; 2 bo’ladi.
Bezu teoremasi. f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₂x²+a₁x+a₀ (a_{ }0) ko’phadni x-a ikkihadga bo’lishdan chiqqan qoldiq ko’phadning x=a bo’lgandagi qiymatiga teng:
r = f(a) = _{ }
Natija. f(x) ko’phad x-a ga bo’lingandagina va shundagina a soni f(x) ko’phadning ildizi bo’ladi.
Misol. f(x)= x³-1 ko’phad x=1 ga bo’linadi. Chunki x=1 soni f(x)= x³-1 ko’p-hadning ildizi bo’ladi, ya’ni, f(1)=0
f(x) ko’phadning ildizlarini izlash uning x_{ }a ko’rinishidagi chiziqli bo’luvchilarini topish bilan teng kuchlidir.
Misollar:
1) x²-a² ikkihad x-a ga ham, x+a ga ham bo’linadi;
2) x²+a² ikkihad x-a ga ham, x+a ga ham bo’linmaydi;
3) x³-a³ ikkihad ikkihad x-a ga ham, x+a ga ham bo’linmaydi;
Gorner sxemasi. fx)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₂x²+a₁x+a₀ ko’phadni x-_{ } ikkihadga bo’lishdagi qoldiqni hisoblashning Gorner (Xorner Uilyam (1786-1837) – ingliz matematigi) sxemasi deb ataluvchi usulini ko’rsatamiz.
f(x)=q(x)(x-a)+r (1) bo’lsin.
Bunda q(x)= b₀x^n-1+b₁x^n-2+b₂x^n-3+…+b_n-1.
(1) dagi x ning bir xil darajalari oldidagi koejjitsiyentlarni tenglashtirib quyidagiga ega bo’lamiz:
a₀=b₀
a₁=b₁-_{ }b₀
a₂=b₂-_{ }b₁
…
a_n-1=b_n-1-_{ }b_n-2
a_n=r - _{ }b_n-1
bundan ko’rinadiki, b₀=a₀, b_k=_{ }b_n-1 +a_k, k=1,2,3,…, n-1, r=-_{ }b_n-1.
Bo’linma va qoldiqni hisoblash quyidagi jadval yordamida topiladi.

	a0	a1	an-2	…	an-1	an
 		 b0+a1	 b1+a2	…	 bn-2+an-1	 bn-1+an
	b0= a0	b1	b2		bn-1	r

Bu sxema Gorner sxemasi deyiladi.

1-misol. x³+4x²-3x+5 ko’phadni Gorner sxemasidan foydalanib, x-1 ga bo’lishni bajaring.

	1	4	-3	5
1	1	5	2	7

Demak, x³+4x²-3x+5=(x-1)(x²+5x+2)+7.
Bezu teoremasidan f(x) ko’phadni ax+b ko’rinishdagi ikkihadga bo’lishda hosil bo’ladigan r qoldiq f_{ } ga teng bo’lishi kelib chiqadi.
2-misol. P(x)= x³-3x²+5x+7 ni 2x+1 ga bo’lishdan hosil bo’lgan qoldiqni toping.
Yechish. Qoldiq r=P_{ } ga teng.
3-misol. P₄(x) = x⁴+x³+3x²+2x+2 ko’phadni x-1 ga bo’lishdan hosil bo’lgan qoldiqni toping
Bezu teoremasiga asosan:
P₄(1) = 1+1+3+2+2 = 9
4-misol: P₂(x) = x₃+2x²+x-a² ko’phadni x-2 ga bo’lishdan hosil bo’lgan qoldiq 8 ga teng bo’lsa, ani toping.
P₂(2) = 2³+4²+2-a²= 8
a²=10
a= -_{ }
a= _{ }
Javob: a=_{ }
5-misol: P₅(x)= 2x⁵ –x⁴-3x³+x-3 ni x-3 ga bo’lishdan hosil bo’lgan qoldiqni toping.
P₅(x) = (x-3) (2x⁴+5x³+12x²+36^x+109) + 324

	2	-1	-3	0	1	-3
		3∙2	3∙5	3∙12	3∙36	3∙109
C=3	2	5	12	36	109	324

Teorema . Agar _{ } soni P(x) ko’phadning ildizi bo’lsa, P(x) ko’phad x-_{ } ikki- hadga qoldiqsiz bo’linadi.

Tayanch iboralar: ko’phad, ildiz, Bezu, Gorner


Nazorat savollari:
1. Ko’phadni qoldiqli bo’lish
2. Bezu teoremasi
3. Gorner sxemasi
Topshiriqlar
1-misol. F(x)=2x⁵+x⁴-10x³-5x²+8x+4 ko’phadning ildizlarini toping.
2-misol. F(x)=x⁴-13x²+36 ko’phadning ildizlarini toping.
3-misol. Gorner sxemasidan foydalanib, f(x) ko’phadning x=a nuqtadagi qiymatini toping.
1) f(x)=_{ }; 2) f(x)=_{ }; 3) f(x)=_{ }
Nazorat savollari:
Kasrlarni qisqartiring:
1. _{ }
2. _{ }
3. _{ }
4. _{ } m i s o l. _{ }
ifodani soddalashtiring.
Y e c h i s h. Berilgan ifodani amal bosqichlari va ularni bajarish qoidalariha roiya qilib soddalashtiramiz:

1. 
   _{ }
   
2. 
   _{ }
   
3. 
   _{ }
   
4. 
   _{ }
   

5-m i s o l. _{ }ifodani soddalashtiring.
Y e c h i s h. a > 0 bo’lganda a^-r = _{ }(0 < r є Q) munosabatdan foydalanib, berilgan ifodani soddalashtiramiz:
1) 1 + _{ }- _{ }+
_{ }
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. “ Algebra va analiz asoslari ” R. H. Vafoyev. 349 bet,
2. A. Abduhamidov “Algebra va matematik analiz asoslaridan masalalar to’plami” 48-52 betlar.
3. A. Abduhamidov “Algebra va matematik analiz asoslari”
4. A. Meliqulov “Matematika” I-qism 89-93 betlar

P₃(x) = x³-3x²+5x +7 ni 2x+1 ga bo’lishdan hosil bo’lgan qoldiqni toping.

P(x) ko’phad D(x) ko’phadni bo’linadimi
a) P(x) = x¹⁰⁰ –3x+2 D(x) = x-1
b) P(x) = x¹⁰⁰ –3x+2 D(x) = x+1
c) P(x) = x¹⁰⁰ –3x+2 D(x) = x²-1
m ning qanday qiymatlarida 3x³-4x²-m²x-2 ko’phad x-2 ga qoldiqsiz bo’linadimi
m ning qanday qiymatlarida 3x³-4x²-mx-1 ko’phad x+1 ga bo’linmaydi.