Laplas almashtirishi

Teorema. (O’xshashlik) Agar ƒ(𝑡) ➛ 𝐹(𝑝) bo’lsa, u holda ixtiyoriy

ƒ^(𝑎𝑡^)➛ ^1𝐹 (^𝑝) 𝑎 𝑎

(5)

𝑎 > 0 uchun

• 
  ƒ⁽𝑎𝑡⁾ funksiyaning tasvirini hisoblash uchun, integralda 𝑎𝑡 = 𝑟
  

almashtirish bajaramiz:
∞ ₁ ∞ _{𝑝 1} ∞ _𝑝
𝐿^[ƒ⁽𝑎𝑡^)] = ∫ ƒ⁽𝑎𝑡⁾𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑡 =
0
∫ ƒ⁽𝑎𝑡⁾𝑒^{−𝑎𝑎𝑡}𝑑⁽𝑎𝑡⁾ =
𝑎 ₀
∫ ƒ⁽𝑟⁾𝑒^−𝑎𝑐𝑑⁽𝑟⁾ =
𝑎 ₀
1 𝑝
= _𝑎 𝐹 ( )

𝑎

5. 
   munosabatni hosil qoldik.◄
   

5. 
   Teorema. (Siljish) Agar ƒ⁽𝑡⁾ ➛ 𝐹⁽𝑝⁾, 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 bo’lsa, u holda
   

𝑒^𝑎𝑡ƒ⁽𝑡⁾ ➛ 𝐹⁽𝑝 − 𝑎⁾ (6)

• 
  Ta’rif bo’yicha 𝑒^𝑎𝑡ƒ⁽𝑡⁾ ning tasvirini topamiz
  

𝐿^[𝑒^𝑎𝑡ƒ⁽𝑡^)] =
∞ ∞
𝐿^[𝑒^𝑎𝑡ƒ⁽𝑡^)] = ∫ 𝑒^𝑎𝑡ƒ⁽𝑡⁾𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑡 = ∫ ƒ⁽𝑡⁾𝑒^{−(𝑝−𝑎)𝑡}𝑑𝑡 = 𝐹⁽𝑝 − 𝑎⁾.◄
0 0
Demak, siljish teoremasiga ko’ra originalni 𝑒^𝑎𝑡 ga ko’paytirish, tasvir argumentining 𝑎 qiymatga siljishiga olib kelar ekan. Bu teorema yordamida, agar
ƒ⁽𝑡⁾ funksiyaning tasviri ma’lum bo’lsa, 𝑒^𝑎𝑡ƒ⁽𝑡⁾ funksiyaning tasvirini topish mumkin.


LAPLAS ALMASHTIRISHLARINING CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI YECHISHGA QOʻLLANILISHI.


Oʻzgarmas koeffitsiyentli oddiy chiziqli differensial tenglamalar uchun Koshi masalasini yechish.
Quyidagicha differensial tenglamani koʻrib chiqamiz:
(1)
Quyidagicha boshlangʻich shartlarni bajaruvchi (1) tenglamaning yechimini qidiramiz:
, … , (2)
Aytaylik ; boʻlsin. (1) ni ikkala tomoniga Laplas almashtirishini va aslni differensiallash teoremasi, hamda Laplas almashtirishini chiziqlilik xossasiga koʻra, (2) boshlangʻich shartli (1) differensial tenglamani oʻrniga operator tenglamaga ega boʻlamiz:
(3)
Operator tenglamaning yechimini topamiz:
(4)
X(p) tasvir boʻyicha x(t) aslni topib, (1) va (2) Koshi masalasi yechimi x(t) ni topamiz.
Misol 1. ; x(0)=1; ; x(t)-?
u holda


kasrni soda kasrlarga yoyamiz:
; A, B, C-koeffitsiyentlarni topamiz.



Demak yechim
Oʻzgarmas koeffitsiyentli n-tartibli chiziqli differensial tenglamani yechish talab qilingan boʻlsin
; (1)
0 ga teng boʻlgan boshlangʻich shartlarda
(5)
yechimini topish talab qilinsin. Aytaylik
L(x)=1 (6)
tenglamaning (2) shartlarni bajaradigan yechimi aniq boʻlsin. Operator tenglamaga oʻtamiz:
, (7)
(8)
Operator koʻrinishdagi (7) va (8) tenglamalardan

Dyumel formulasiga koʻra:
(9)
ekanligini eʼtiborga olib
(10)
bundan (1) tenglamaning (5) nol boshlangʻich shartlardagi x(t) yechimi, quyidagicha boʻladi:
(11)
bunda (6) va (5) yordamchi masala yechimi.
Misol. Dyumel formulasi yordamida boshlangʻich shartlarni bajaruvchi differensial tenglamaning yechimi topilsin.
Yordamchi masalani koʻrib chiqamiz:

Operatsion usuldan foydalanib, , , 1

ekanligini topamiz, undan esa

u holda (11) formulaga koʻra
=