Küçük bir memurun ikinci oğlu olan Nicolas İvanovitch Lobatchewsky, 2 Kasım 1973 günü Rusya’da, Makariev Eyaletinde doğmuştur. Nicolas 7 yaşındayken babası öldü. Dul kalan annesi Praskova İvanovna, üç erkek çocuğuna tek başına bakmak zorunda kaldı. Babaları küçük bir memur olduğu için, kazandığı para ancak ailesini geçindirebiliyordu. Zavallı dul anne şimdi üç öksüzle birlikte fakirlikle karşı karşıyaydı. Anne, çocuklarıyla birlikte Kazan kentine gittiler. Çocuklarını okutmak isteyen anne, tüm çabalarıyla onları sınavlara hazırladı. Küçük oğlanlar da, birer birer parasız öğrenci olarak Gymnasium’a girdiler.
Küçük bir memurun ikinci oğlu olan Nicolas İvanovitch Lobatchewsky, 2 Kasım 1973 günü Rusya’da, Makariev Eyaletinde doğmuştur. Nicolas 7 yaşındayken babası öldü. Dul kalan annesi Praskova İvanovna, üç erkek çocuğuna tek başına bakmak zorunda kaldı. Babaları küçük bir memur olduğu için, kazandığı para ancak ailesini geçindirebiliyordu. Zavallı dul anne şimdi üç öksüzle birlikte fakirlikle karşı karşıyaydı. Anne, çocuklarıyla birlikte Kazan kentine gittiler. Çocuklarını okutmak isteyen anne, tüm çabalarıyla onları sınavlara hazırladı. Küçük oğlanlar da, birer birer parasız öğrenci olarak Gymnasium’a girdiler.
Nicolas 1802 yılında 8 yaşındayken okula alındı. Hem matematikte hem de diğer derslerde harika denecek kadar başarılıydı. 13 yaşında üniversiteye girmek için hazırlanmaya başladı. Nicolas, 1805 yılında kurulan Kazan Üniversitesine 1807 yılında girdi. Burada hayatının kırk yılı sırasıyla, öğrenci, yardımcı profesör, profesör, dekan ve rektör olarak geçirdi
Bir çok kimseler vardır, bunlar kendisinden önce gelenlerin yaptıklarını ya geliştirir ya da bazı boşluklarını doldurur. Bazı kimseler de, tam bir yenilikçidir. Her şeyi yeni baştan yapar ve yaratıcı bir yapıya sahiptir.Daha önceki alışılmışların dışına çıkar ve onlardan daha iyisini yaparak eskisini atar. İşte Nicolas böyle bir geometri yenilikçisiydi. Ona, geometrinin Kopernik’i derlerdi. Çünkü o, daha önce alışılmış Euclides geometrisinin dışına çıkarak Euclides olmayan geometriyi kurduğu için ona geometrinin Kopernik’i denmiştir.
1811 yılında 18 yaşında olan Lobatchewsky, gençliğinin verdiği taşkınlıkla, yetkili ve yönetici kimselerle çekiştikten sonra bu üniversiteden öğretmenlik diplomasını aldı.
O devirde ağabeyi Alexis memur adaylarına basit matematik dersleri veriyordu. Ağabeyi sağlık nedeniyle rapor alınca onun yerine dersleri yürütüyordu. İki yıl sonra yardımcı profesör olarak atandı. 1816 yılında 23 yaşındayken ordinaryüs profesör seçildi. Bu gerçekten görülmemiş bir olaydı.
O, her zaman meşgul ve çalışıyordu. İş ayrımı da yapmazdı. Matematik derslerinden başka, bir arkadaşı izinli olduğunda, jeoloji, fizik ve astronomi dersleri de veriyordu. Bir çok kişinin yapacağı işi tek başına yardımsız becerirdi. Üniversitenin kütüphanecisi, üniversitenin müzesinin eşyalarının korunması memurluğundan tutunuz da Kazan’daki tüm okulların baş müfettişiydi.
Müzeyi ve kütüphaneyi düzene soktu. Bu hizmetlerinden dolayı kendisini Matematik ve Fizik dekanlığına seçtiler.
1825 yılında Aleksandır’ın ölümünden sonra üniversitenin durumu düzeldi. Yine müzeye ve kütüphaneye meslekten yetişmiş kimseler getirildi. Üniversitenin manevi ve siyasi bir dayanağa ihtiyacı olduğunu anlayan müze memuru, tek başına yüksek makamlara başvurarak, 1827 yılında Lobatchewsky’nin rektörlüğe atanmasını sağladı.
Hükümet, üniversitenin binalarını modernleştirmek ve yenilerini yapmak için karar verince, rektör işin uygun bir biçimde yapılmadığını ve konulan paranın boş yere harcanıp harcanmadığını kontrol etmek görevini kendiliğinden üstüne aldı. Bunu becerebilmek için mimariyi öğrenmeye başladı. Kontrol o kadar etkili oldu ki, binalar çok şahane yapıldığı gibi, tahmin edilenin çok daha altında ucuza mal oldu. Bu olay, devlet tarafından yaptırılan inşaat tarihinde ilk olarak kaydedilen olaydır.
Birkaç yıl sonra 1842 yılında, Lobatchewsky’nin güzel, binaları, gözlemevi, kütüphanesi ve müzesi de yandı. Fakat, rektörün soğuk kanlılığı ve enerjisi sayesinde aletler ve kütüphane kurtarılmıştı. Yangından sonra Lobatchewsky yeniden kolları sıvadı, inşaata başladı ve iki yıl sonra yangından eser kalmadı. Gelenler yeni bir inşaatla karşılaşıyorlardı.
Birkaç yıl sonra 1842 yılında, Lobatchewsky’nin güzel, binaları, gözlemevi, kütüphanesi ve müzesi de yandı. Fakat, rektörün soğuk kanlılığı ve enerjisi sayesinde aletler ve kütüphane kurtarılmıştı. Yangından sonra Lobatchewsky yeniden kolları sıvadı, inşaata başladı ve iki yıl sonra yangından eser kalmadı. Gelenler yeni bir inşaatla karşılaşıyorlardı.
Yangının olduğu 1842 yılında,Lobatchewsky Euclides’in olmayan geometriyi yarattığı için, Gauss’un önersi ve övgüsü üzerine Göttingen Kırallık Kurumu, kendisini yabancı üye seçmişti.bu kadar işte çalışan biri için nasıl zaman bulmuşta ilmi çalışma yapmıştır diye bugün hala sorulur. Gerçekten, bu olay oldukça şaşılacak bir şeydir. Yarattığı geometri üzerine tam yirmi yıldan fazla çalışmıştı.
Çok ileri görüşlü olan Lobatchewsky, yalnız matematik sahasında sıkışıp kalmamıştı.
1830 yıllarında mikrop kuramı bilinmiyordu. Kazan’da çıkan kolera salgınının Allah’ın gazabından değil pisliğin parmağı olduğu kanaatine vardı. Şehirdeki halkın ümitsiz olduğunu anlayan rektör, üniversite üyelerinin aileleriyle birlikte üniversiteye sığınmalarını sağladı. Pencereler kapalı tutuluyor, en sıkı sağlık korunması kuralları ve temizlik uygulanıyordu. Yalnız yiyecek almak için zorunlu çıkışlara izin veriliyordu. Böylece, üniversiteye sığınan 600 kişiden sadece 16’sı ölmüştü. Eski geleneklere ve alışkanlıklara göre hareket eden ve eski ilaçlar kullanan şehrin kayıplarına göre 16 ölüm yüzdesi ihmal edilir bir rakamdır.
1830 yıllarında mikrop kuramı bilinmiyordu. Kazan’da çıkan kolera salgınının Allah’ın gazabından değil pisliğin parmağı olduğu kanaatine vardı. Şehirdeki halkın ümitsiz olduğunu anlayan rektör, üniversite üyelerinin aileleriyle birlikte üniversiteye sığınmalarını sağladı. Pencereler kapalı tutuluyor, en sıkı sağlık korunması kuralları ve temizlik uygulanıyordu. Yalnız yiyecek almak için zorunlu çıkışlara izin veriliyordu. Böylece, üniversiteye sığınan 600 kişiden sadece 16’sı ölmüştü. Eski geleneklere ve alışkanlıklara göre hareket eden ve eski ilaçlar kullanan şehrin kayıplarına göre 16 ölüm yüzdesi ihmal edilir bir rakamdır.
Her şeyini üniversitesine ve ülkesine adamış ve Avrupa’nın en büyük matematikçisine devletin maaşını yükseltmesi ve ona daha çok değer vermesi beklenebilir. Fakat, o zamanın Rusya’sından bunu beklemek saflık olurdu. Lobatchewsky’nin Rusya’ya karşı gösterdiği tüm fedakarlıklarına ve sonsuz bağlılığına bir teşekkür olarak hükümet 1846 yılında onun hem profesörlük hem de rektörlük görevine son verdirdi.
Bu gözden düşme Lobatchewsky’ye çok ağır geldi. Onun üniversitedeki odasını muhafaza etmesine izin verilmişti. Ancak, hükümetin atadığı yeni görevli 1847 yılında görevine başlayınca, Lobatchewsky’nin yeniden görev alması ümidi kalmadı. Ancak bazı sınavlarda bulunabiliyordu. Gözleri günden güne zayıflıyordu. Fakat, matematikte eser verecek durumdaydı. Oğlunun ölümünden sonra sağlığı yavaş yavaş bozuldu. 1855 yılında onun üniversiteye girişinin ellinci yılı kutlandı. Toplantıya kendiside katıldı. ilmi yaşamını özetleyen bir yazı sundu.Fransızca ve Rusça olan bu yazı onun el yazısı değildi. Gözleri kör olduğu için başkasına yazdırmıştı. Büyük matematikçi birkaç ay sonra 24 şubat 1856 günü altmış sekiz yaşındayken öldü. Fakat kurduğu geometri halen yaşamaktadır.
Bu gözden düşme Lobatchewsky’ye çok ağır geldi. Onun üniversitedeki odasını muhafaza etmesine izin verilmişti. Ancak, hükümetin atadığı yeni görevli 1847 yılında görevine başlayınca, Lobatchewsky’nin yeniden görev alması ümidi kalmadı. Ancak bazı sınavlarda bulunabiliyordu. Gözleri günden güne zayıflıyordu. Fakat, matematikte eser verecek durumdaydı. Oğlunun ölümünden sonra sağlığı yavaş yavaş bozuldu. 1855 yılında onun üniversiteye girişinin ellinci yılı kutlandı. Toplantıya kendiside katıldı. ilmi yaşamını özetleyen bir yazı sundu.Fransızca ve Rusça olan bu yazı onun el yazısı değildi. Gözleri kör olduğu için başkasına yazdırmıştı. Büyük matematikçi birkaç ay sonra 24 şubat 1856 günü altmış sekiz yaşındayken öldü. Fakat kurduğu geometri halen yaşamaktadır.
Şimdi, Lobatchewsky’nin geometrisini görelim. Euclides’in geometrisine göz atalım.
Euclides’in “Elements” adlı eserinde, ilkel geometrinin düzenli açıklamasından başka o zamanın sayılar kuramı hakkında bilinen her şey yazılıdır. Onun bu eserdeki payı, kendisinden önce gelenler ve çağdaşları tarafından elde edilen ve şurada burada dağınık halde bir bulunan sonuçları mantıklı bir düzene sokmaktan ibarettir. Onun amacı, ilkel geometriyi düzenli ve mantıklı bir biçimde okuyucularına sunmaktır. Euclides geometrisi 2200 yıldan fazla sürmüştür. Bugün bile halen bu geometri kullanılmaktadır.
Euclides’in “Elements” adlı eserinde, ilkel geometrinin düzenli açıklamasından başka o zamanın sayılar kuramı hakkında bilinen her şey yazılıdır. Onun bu eserdeki payı, kendisinden önce gelenler ve çağdaşları tarafından elde edilen ve şurada burada dağınık halde bir bulunan sonuçları mantıklı bir düzene sokmaktan ibarettir. Onun amacı, ilkel geometriyi düzenli ve mantıklı bir biçimde okuyucularına sunmaktır. Euclides geometrisi 2200 yıldan fazla sürmüştür. Bugün bile halen bu geometri kullanılmaktadır.
Euclides geometrisinin temel aksiyomu birbirine eş değer olarak şöyledir. Düzlemdeki bir doğruya dışındaki bir noktadan bir tek paralel doğru çizilir. Aynı düzlem üzerinde birbirini kesmeyen doğrulara tanım olarak paralel denir. Lise yıllarında uzun uzun incelenen geometri için fazla açıklama yapmadan yeni geometriye gelelim.
Bir dikdörtgene benzeyen ABYX şeklini göz önüne alalım. Yani, AB doğru parçasının aynı tarafında olmak üzere
Bir dikdörtgene benzeyen ABYX şeklini göz önüne alalım. Yani, AB doğru parçasının aynı tarafında olmak üzere
AX┴AB, BY┴AB ve AX=BY doğru parçalarını alalım, şimdi, paralellik postülatını kullanmadan AXY ve BYX açılarının eşit olduğu hemen çıkar. Fakat paralellik postülatını kullanmadan AXY ve BYX açılarının dik açılar olduklarını ispatlamak olanaksızdır. Ama paralellik postülatını kabul dersek bu açıların dik oldukları ispatlanabilir.
Demek ki AXY ve BYX açılarının dik olması paralellik postülatına eş değerdir. Bu gün bu hipoteze Dik açı hipotezi denir. Bu gün pratikte ve bir çok uygulamada kullandığımız düzenli Euclides geometrisi bu dik açı hipotezin de çıkmıştır. Fakat bu dik açı hipotezi iki şeyi daha haber vermektedir. Bunlar da dar açı ve geniş açı hipotezleridir. Yani, AXY ve BXY açılarından her biri dar açı olabilir. Bu halde buna da dar açı hipotezi demek doğal olmuştur.
X y
X y
Bir açı, ya bir dik açıya, ya bir dik açıdan büyük yada küçük olmak koşularından ancak yerine getirebileceğinden dik açı, geniş açı veya dar açı hipotezleri gibi üç hipotezden birinin kabulünün olanağı vardır.
Bir açı, ya bir dik açıya, ya bir dik açıdan büyük yada küçük olmak koşularından ancak yerine getirebileceğinden dik açı, geniş açı veya dar açı hipotezleri gibi üç hipotezden birinin kabulünün olanağı vardır.
Her günkü hayatımızdan edindiğimiz deneyimler bizi ilk hipotezi kabul etmeye yöneltir. Diğer iki hipotezinde ilk bakışta alınmaması pekte anlamsız değildir. Fakat, ne dar ve nede geniş açı hipotezi bize Euclides in paralellik postülatını ispat etmek olanağını verir. Yani, her ikisi de paralellik postülatını ispatlamaz. Çünkü, paralellik postülatı ile dik açı hipotezi birbirlerine eşdeğerdir. Yani bunlar birbirleri için gerekli ve yeterli koşulardır. Diğer bir deyimle, paralellik postülatı ile dik açı hipotezi birbirlerini gerektirir. Böylece, dar ve geniş açı hipotezleri ile yeni geometriler kurulabilir. Bu şekilde kurulacak olan geometrilerde doğruların paralelliği anlamı Euclides in kabul ettiği anlamda bir paralellik olmayacak. Aslında bu dar ve geniş açı hipotezleri o kadar da mantıksızlık değildir. Aslında, geniş ve dar açı hipotezleri daha akla yatkındır. Şimdi bunları görelim.
Yerküremizin dağları, tepeleri ve çukurları olmayan tam bir küre olduğunu düşünelim. Bu küre kafamızda düşündüğümüz ideal dünyamız olsun. Bu kürenin merkezinden geçen her düzlemle bu yüzeyi en büyük çemberle keselim. Dünya üzerindeki A noktasından B noktasına gitmek ve en kısa yolu izlemek isteyelim. Bu da, A ve B noktalarından geçen en büyük çemberin yayı üzerindeki gemilerin gidip gelme yolu probleminden başka bir şey değildir. Bu çember de, A, B noktaları ve kürenin merkezinden geçen düzlemin küre ile olan kesişimidir. A ve B noktalarının birleştiren yayların en kısası üzerinde hareket etmelidir. Eğer A ve B noktaları çapın karşılıklı ucunda ise, yaylardan her hangi birini izleyebiliriz. Bu en uzun ve en kısa kelimeler topluluğuna ekstremum denir.
Yerküremizin dağları, tepeleri ve çukurları olmayan tam bir küre olduğunu düşünelim. Bu küre kafamızda düşündüğümüz ideal dünyamız olsun. Bu kürenin merkezinden geçen her düzlemle bu yüzeyi en büyük çemberle keselim. Dünya üzerindeki A noktasından B noktasına gitmek ve en kısa yolu izlemek isteyelim. Bu da, A ve B noktalarından geçen en büyük çemberin yayı üzerindeki gemilerin gidip gelme yolu probleminden başka bir şey değildir. Bu çember de, A, B noktaları ve kürenin merkezinden geçen düzlemin küre ile olan kesişimidir. A ve B noktalarının birleştiren yayların en kısası üzerinde hareket etmelidir. Eğer A ve B noktaları çapın karşılıklı ucunda ise, yaylardan her hangi birini izleyebiliriz. Bu en uzun ve en kısa kelimeler topluluğuna ekstremum denir.
bu örnek bizi bir yüzeyin jeodeziklerinin tanımına götürür. Küre üzerinde iki noktayı birleştiren en kısa uzaklık, bu noktalardan geçen en büyük çemberin bir yayının uzunluğudur. En uzun uzaklık da, aynı çemberin diğer yayıdır. Sözü geçen iki nokta çapın iki ucunda bulunuyorsa, en kısa uzaklık en uzun uzaklığa eşittir.
Bir düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktayı birleştiren doğru parçasıdır. Bu tanımı küre içine uygularsak, düzlemdeki doğruya küredeki bu büyük çember karşılık gelir. Her hangi bir yüzey üzerindeki herhangi iki noktayı birleştiren ekstremumlara bu yüzeyin jeodezikleri adını vereceğiz. Buna göre, düzlemdeki jeodezikler Euclides in doğrularıdır. Bir küre üzerindeki jeodezikler ise, bu büyük çemberlerdir. Bir jeodeziği elde tutulur bir biçimde görmek için, bir yüzeyin iki noktası arasında iyice gerilmiş bir ipi göz önüne alabiliriz.
Bir düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktayı birleştiren doğru parçasıdır. Bu tanımı küre içine uygularsak, düzlemdeki doğruya küredeki bu büyük çember karşılık gelir. Her hangi bir yüzey üzerindeki herhangi iki noktayı birleştiren ekstremumlara bu yüzeyin jeodezikleri adını vereceğiz. Buna göre, düzlemdeki jeodezikler Euclides in doğrularıdır. Bir küre üzerindeki jeodezikler ise, bu büyük çemberlerdir. Bir jeodeziği elde tutulur bir biçimde görmek için, bir yüzeyin iki noktası arasında iyice gerilmiş bir ipi göz önüne alabiliriz.
Deniz üzerindeki küçük uzaklıklar bile Euclides düzlemi gibi düz bir yüzey olarak düşünülemez. Bu ancak bir küre kabuğudur. Yani, gemilerin gidip gelme yolculukları geometrisi hiçte Euclides geometrisi değildir. Diğer bir deyimle, Euclides geometrisinde, insanlara yarayan birircik geometri değildir. Euclides düzleminde paralel olmayan iki doğru yani iki jeodezik her zaman iki noktada kesişirler. Bu iki geometrideki ilk farktır. İkinci farkta şudur: Euclides in geometrisinin postülatlarından birinde kabul edildiği gibi, iki jeodezik tarafından sınırlanan alan her zaman vardır.
Şimdi, ekvator jeodeziği ile kuzey kutbundan geçen ve ekvatora dik olan iki jeodeziği düşünelim. Böylece, kuzey yarım küresinde iki kenarı birbirine eşit olan eğrisel bir üçgen elde ederiz. Bu eğrisel üçgenin iki kenarını kesen AX ve BY kenarları eşit olan XY jeodeziğini çizelim. Böylece küre üzerinde AXYB gibi dört kenarlı bir şekil elde ederiz. Bu şeklin taban açıları birbirine eşit birer dik açıdır. Fakat, AXY ve XYB açılarından her biri dik açıdan daha büyüktür. Yani, bu açıların her biri birer geniş açıdır. Öyleyse, gemilerin gidip geldikleri yollar için Euclides in paralellik postülatı ve ne de dik açı hipotezindeki eşdeğeri doğrudur. Bu halde her ikisi de yanlıştır. Gerçekte doğru olan geniş açı hipotezindeki geometridir. Bu gün, haritacılık, askeri ölçmeler, meteoroloji, uçaklar, gemiler ve uzaydaki uydular hep bu geniş açı hipotezine göre yürütülmektedir.
Şimdi, ekvator jeodeziği ile kuzey kutbundan geçen ve ekvatora dik olan iki jeodeziği düşünelim. Böylece, kuzey yarım küresinde iki kenarı birbirine eşit olan eğrisel bir üçgen elde ederiz. Bu eğrisel üçgenin iki kenarını kesen AX ve BY kenarları eşit olan XY jeodeziğini çizelim. Böylece küre üzerinde AXYB gibi dört kenarlı bir şekil elde ederiz. Bu şeklin taban açıları birbirine eşit birer dik açıdır. Fakat, AXY ve XYB açılarından her biri dik açıdan daha büyüktür. Yani, bu açıların her biri birer geniş açıdır. Öyleyse, gemilerin gidip geldikleri yollar için Euclides in paralellik postülatı ve ne de dik açı hipotezindeki eşdeğeri doğrudur. Bu halde her ikisi de yanlıştır. Gerçekte doğru olan geniş açı hipotezindeki geometridir. Bu gün, haritacılık, askeri ölçmeler, meteoroloji, uçaklar, gemiler ve uzaydaki uydular hep bu geniş açı hipotezine göre yürütülmektedir.
Şimdi, dar açı hipotezinin de akla yatkın olduğunu gösterelim. Bunun için, küre yüzeyinden daha az tanınmış bir yüzeyi göz önüne alacağız. Bu yüzey, sonsuza kadar uzatılmış geniş ağız kısımları birbirine yapıştırılmış iki borazanın yüzeyine benzer. Bu yüzeyi daha iyi anlayabilmek için düzlemdeki traktris denilen eğriyi düşünelim. Bu eğri analitik olarak,
Şimdi, dar açı hipotezinin de akla yatkın olduğunu gösterelim. Bunun için, küre yüzeyinden daha az tanınmış bir yüzeyi göz önüne alacağız. Bu yüzey, sonsuza kadar uzatılmış geniş ağız kısımları birbirine yapıştırılmış iki borazanın yüzeyine benzer. Bu yüzeyi daha iyi anlayabilmek için düzlemdeki traktris denilen eğriyi düşünelim. Bu eğri analitik olarak,
X=SECH ¯¹(y/a)-(a²-y²)¹/²
denklemi ile bellidir.
Şekildeki yüzeye, sanki küre yüzeyi adını verelim. Şeklimiz de sanki küre olsun.
Şekildeki yüzeye, sanki küre yüzeyi adını verelim. Şeklimiz de sanki küre olsun.
Biraz önce yapıldığı gibi bu yüzey üzerinde jeodezikleri kullanarak iki kenarlı birbirine eşit ve iki açısı dik olan dört kenarlı bir şekil çizersek dar açı hipotezinin gerçeklendiğini görürüz. Yani, doğru çizgiler birer jeodezik veya ekstremum alınmak üzere, dik açı, geniş açı ve dar açı hipotezleri sırasıyla, Euclides düzleminde, küresel yüzey üzerinde, sanki küresel yüzey üzerinde doğrudur. Euclides geometrisi, küresel geometrinin limit veya yarı çapı sonsuza uzanan bozulmuş bir küre yüzeyi hali gibi düşünülebilir. Bu limit durum, Lobatchewsky geometrisinin geniş açı hipotezi ile çakışan geometrisidir. Yani, Euclides geometrisi, Lobatchewsky geometrisinin özel bir halidir.
Euclides, i.ö. 350 ile 276 yılları arasında yaşamıştır. Bu çağlarda ve ondan sonraki yıllarda dünya’nın düz olduğu kabul ediliyordu. Bu nedenle, Euclides dünyanın düz olduğunu kabul ederek geometrisini kurmuştur.
Lobatchewsky, Euclides in paralellik postülatına ve ya buna eşdeğer olan dik açı hipotezinin düzenli her geometri için gerekli bir hipotez olmasına meydan okumuştur.bundan başka, dart açı hipotezine dayanarak yeni bir geometri sistemi koymuştur. Bu geometri sabit bir noktadan geçmek üzere ve verilen bir doğruya bir tek paralel değil en az iki paralel doğru çizilir. Lobatchewsky nin paralellerinden hiç biri bu iki doğrunun paralel olduğu doğruyla hiçbir zaman kesişmez. Bu özellik, sabit noktada ve iki paralel doğru ile meydana gelen açı içinden geçen her doğru için doğrudur. Garip gibi görünen bu sonsuz sayıdaki paralellerin bu durumu, sanki küre yüzeyi üzerinde bulunan jeodezik çizgilerin gerçeklendikleri özelliklerden oluşmaktadır.
Lobatchewsky, Euclides in paralellik postülatına ve ya buna eşdeğer olan dik açı hipotezinin düzenli her geometri için gerekli bir hipotez olmasına meydan okumuştur.bundan başka, dart açı hipotezine dayanarak yeni bir geometri sistemi koymuştur. Bu geometri sabit bir noktadan geçmek üzere ve verilen bir doğruya bir tek paralel değil en az iki paralel doğru çizilir. Lobatchewsky nin paralellerinden hiç biri bu iki doğrunun paralel olduğu doğruyla hiçbir zaman kesişmez. Bu özellik, sabit noktada ve iki paralel doğru ile meydana gelen açı içinden geçen her doğru için doğrudur. Garip gibi görünen bu sonsuz sayıdaki paralellerin bu durumu, sanki küre yüzeyi üzerinde bulunan jeodezik çizgilerin gerçeklendikleri özelliklerden oluşmaktadır.
Günlük yaşantımızda karşılaştığımız işlerde, Euclides geometrisi ile Lobatchewsky geometrisi arasındaki farklar göz önüne alınmayacak kadar küçüktür. Fakat önemli nokta bu değildir. Her iki geometri kendi öz varlıklarını koruyabilmektedir. Her birinin insanların yaşaması bakımından önemi vardır. Asıl önemli olan, Euclides geometrisinin mutlak bir gerçek olduğu inanışını Lobatchewsky nin yıkmış olmasıdır. Lobatchewsky nin kurduğu yeni geometri kendinden sonra gelenlere öncülük etmiştir. Riemann ın genel bağımlılık geometrisi bir örnek olarak verilebilir.
