Ma’ruza. Tutash muhitlar mexanikasining predmeti, asosiy

Oqim chiziqlari va traektoriya

Oqim chizig’i deb kuzatilayotgan vaqt momentida ixtiyoriy nuqtasiga o’tkazilgan urinmasining yo’nalishi uning tezlik vektori yo’nalishi bilan mos tushadigan egri chiziqqa aytiladi.
→
Bu shartni vektor shaklida v  dS  0 kabi yozish mumkin, ya’ni vektor ko’paytma nolga teng
bo’lishi lozim. Buni (1.3) formulaga asosan quyidagicha determinant shaklida yozish mumkin:

→ →
e_x e_y
v_x v_y
dx dy
→
e_z
v_z  0
dz

(3.7)

Bu determinantni ochib chiqib, oqim chizig’ining ushbu
d x _ dy _ dz
(3.8)

v_x v_y v_z
differensial tenglamasiga ega bo’lamiz. Bu yerdan
d x _ dy _ dz _{=ds ,}

bunda s - yordamchi o’zgaruvchi, yoki

v_x v_y v_z

^dx  v , ds ^x
dy  v , ds ^y
dz _{ v} ds ^z

tenglamalar sistemasini yechib, oqim chizig’ini topamiz. ^{x0 , y0 , z0 }
topish uchun Koshi masalasini oxirgi tenglamalar sistemasi bilan ushbu
nuqtadan o’tuvchi oqim chizig’ini

0
^x ss
^{ x}₀ ,
^y ss
^{ y}₀ ,
^z ss
 z₀

0

0
boshlang’ich shartlarda yechish zarur bo’ladi.
Fazodagi harakatlanayotgan zarrachaning qoldirgan izi trayektoriya deb tushuniladi.
Trayektoriyaning Eyler o’zgaruvchilaridagi differensial tenglamasi quyidagicha yoziladi:
^{d x}  ^dy  ^dz  dt . (3.9)

Bu yerdan ushbu

v_x v_y v_z

^dx  v , dt ^x
dy  v , dt ^y
dz _{ v} dt ^z

tenglamalar sistemasini yechib, trayektoriya tenglamasini topamiz. Tutash muhit zarrachasining

trayektoriyasini topish uchun esa t  t₀
da Koshi masalasini oxirgi tenglamalar sistemasi bilan ushbu

^x t t
 x₀ ,
^y t t
 y₀ ,
^z t t
 z₀

0

0

0
boshlang’ich shartlarda yechish zarur bo’ladi.
(3.8) va (3.9) tenglamalarni taggoslaganda, umumiy holda, ya’ni nobarqaror harakatda oqim chizig’i va trayektoriya mos tushmaydi. Tutash muhitning barqaror harakatida esa oqim chiziqlari vaqt bo’yicha o’zgarmas bo’lib, suyuqlik zarrachasining traektoriyasi bilan ustma-ust tushadi.
Tutash muhitning harakati potensial yoki uyurmasiz deyiladi, agar vaqtning har bir momentida suyuqlikning to’la hajmida rot u  0 tenglik bajarilsa. Tutash muhitning statsionar harakatida rot u  0 tenglik uning oqim chiziqlari bo’ylab o’rinli bo’ladi. Shunday qilib, agar oqim chiziqlarining biror nuqtasida uyurma sodir bo’lmasa, u holda bu uyurma butun shu chiziq bo’ylab sodir bo’lmaydi. Agar suyuqlikning harakati nostatsionar bo’lsa, u holda bu natija shunday farq bilan o’z kuchida qoladiki, bunda oqim chiziqlari haqida emas, balki vaqt o’tishi bilan suyuqlikning zarrachasi orqali aniqlangan traektoriya haqida gapirish lozim bo’ladi. Shuni eslatamizki, nostatsionar harakatda bu traektoriyalar, umuman olganda, oqim chiziqlari bilan mos tushmaydi.
Agar harakatlanayotgan suyuqlikda tezliklar taqsimoti faqat ikkita, masalan, x va y koordinatalarga bog’liq va barcha nuqtalarda tezlik Oxy tekislikka parallel bo’lsa u holda bunday oqim ikki o’lchovli yoki tekis oqim deyiladi. Ikki o’lchovli oqimda suyuqlikning statsionar harakati uchun oqim chiziqlari uchbu

dx _
v_x ( x, y,t )
dy


v_y ( x, y,t )
 dt
yoki
v_y dx  v_x
dy  0
(3.10)

differensial tenglamadan topiladi. Bu tenglama tekis holatdagi oqim chiziqlari tenglamasi deb atalib, u har bir nuqtada oqim chizig’iga o’tkazilgan urinma yo’nalishidagi tezlik yo’nalishi bilan mos tushishini bildiradi.

3.