Matematica în gimnaziu
Operaţie de ordinul al doilea
Yüklə 354,33 Kb.
|
1. Operaţie de ordinul al doilea. 2. Prima operaţie cu numere învăţată de voi. 3. Altă operaţie de ordinul al doilea. 4. Operaţia inversă adunării. 5. Rezultatul adunării. 6. Operaţie de ordinul al treilea, nou învăţată (3 cuvinte). 7. Proprietate a adunării şi a înmulţirii. 8. Se obţine în urma scăderii. 9. Ridicarea la puterea a treia se mai numeşte şi ridicarea la............ . 10. În urma ridicării la puterea a doua se obţine un.................(2 cuvinte). Dacă aţi rezolvat corect rebusul de mai sus, pe coloana marcată vă va apărea numele unei ştiinţe exacte. Capitolul II: Numere raţionale pozitive
JOCUL MATEMATIC “Caută vecinii ! “ Scopul didactic este “consolidarea deprinderilor de comparare a unor numere raţionale”, Sarcina didactică este “să găsească numărul mai mare sau mai mic cu o unitate decât numărul dat; să găsească între ce numere naturale este cuprins numărul raţional dat” 
Dezvoltarea creativităţii prin rezolvarea şi compunerea de probleme Noul curriculum al disciplinei Matematică pune accent pe caracterul explorativ-investigativ al învăţării matematicii, pe valoarea formativă a contextelor problematice în care trebuie să se producă învăţarea şi pe raţionalizarea conţinuturilor la nivelul anului de studiu. Obiectivele-cadru au un grad ridicat de generalitate şi complexitate şi marchează evoluţia copilului de-a lungul întregului ciclu primar. Acestea sunt:
Matematica participă cu mijloace proprii la modelarea personalităţii atât sub aspect intelectual cât şi sub aspect estetic şi moral. Din punctul de vedere al dezvoltării intelectuale, învăţarea matematicii exersează capacitatea de a judeca, ajută elevul să distingă adevărul ştiinţific de neadevăr, să-l demonstreze; antrenează organizarea logică a gândirii, ordonarea ideilor, recunoaşterea ipotezelor şi a concluziilor, îl învaţă pe copil să distingă diversele aspecte ale unei situaţii, să separe esenţialul de neesenţial; dezvoltă atenţia, antrenează memoria logică, exersează analiza şi sinteza, favorizează dezvoltarea imaginaţiei creatoare; dezvoltă spiritul critic, formează spiritul ştiinţific obiectiv şi stimulează dorinţa de cercetare. Sub aspect estetic se dezvăluie frumuseţea matematicii exprimată prin formule, relaţii, figuri, demonstraţii, cultivă calităţi ale exprimării gândirii (claritate, ordine, conciziune, eleganţă), îl ajută pe elev să recunoască şi să aprecieze legătura formală a creaţiei artistice din echilibrul arhitectural, compoziţia artelor plastice, ritmuri şi structuri muzicale, frumuseţea şi organizarea naturii şi a tehnicii. Din punct de vedere moral, matematica formează capacitatea aprecierii adevărului, obiectivităţii şi echităţii, creează nevoia de rigoare, discernământ şi probarea ipotezelor, dezvoltă nevoia de cunoaştere, de a înţelege. Se formează deprinderi de cercetare şi investigare, e stimulată perseverenţa. Gândirea creatoare se dezvoltă în mod deosebit prin rezolvarea unor probleme care solicită strategii atipice, inventate şi prin compunerea de probleme. O problemă este sau nu creativă, în funcţie de vârsta, experienţa şi capacitatea intelectuală a elevului. Compunerea de probleme reprezintă o treaptă superioară de dezvoltare a gândirii creatoare, de legare a teoriei de practică. Pentru ca elevul să elaboreze textul unei probleme este necesar să găsească împrejurările corespunzătoare, să-şi imagineze acţiunea, să aleagă datele numerice în concordanţă cu realitatea, să stabilească soluţii aritmetice corespunzătoare între informaţiile date şi să formuleze întrebarea problemei. În activitatea de învăţare a compunerii de probleme se pot folosi mai multe procedee, care pot fi grupate după forma de prezentare, strategiile şi mecanismele gândirii pe care le solicită. 1. Compuneri de probleme după o acţiune sau o poveste Se iau ca model activităţi zilnice sau povestiri. De exemplu, doi copii care au adus o vază cu flori pot da naştere ideii de creaţie a unei probleme. Acţiunea se va desfăşura în faţa clasei, florile vor fi numărate cu voce tare. Astfel se poate alcătui problema: ,,Ionuţ a pus în vază 3 garoafe şi Ana a mai pus încă 5. Câte flori sunt în vază?” 2. Compuneri de probleme după desene Pot fi folosite desene viu colorate, cu imagini sugestive precum fructe, flori, figuri geometrice, animale, insecte ş.a. sub formă de tablouri sau desene pe tablă. Se sugerează, astfel, ce să cuprindă enunţul problemei şi ce numere vor constitui datele problemei. Creativitatea se manifestă în transpunerea datelor din desen în relaţii matematice şi în găsirea a cât mai multe variante de probleme. Elevii trebuie stimulaţi să inventeze probleme cât mai originale sau să le complice.Se vor folosi şi desene care să indice operaţiile pe care trebuie să le efectueze. Astfel, pentru operaţia de adunare pot fi desenate amimale sau insecte care vin într-un grup, iar pentru scădere care pleacă. De asemenea, pot fi desenate elemente tăiate cu o linie pentru a indica operaţia de scădere. O altă modalitate de compunere a unor probleme este reprezentarea unor numere în tabele la care se indică, de exemplu: cantitatea avută, cantitatea consumată, cantitatea rămasă. Cantitatea care trebuie calculată e marcată de semnul întrebării. Pe baza acestor informaţii se pot compune probleme cât mai variate. 3. Compuneri de probleme după modelul unor probleme rezolvate anterior Acest procedeu solicită elevii să compună probleme prin analogie, schimbând enunţul şi datele iar întrebarea să rămână aceeaşi. În clasa I, tendinţa este de a păstra enunţul şi întrebarea, elevii schimbând numai datele. Acum ei trebuie să fie îndrumaţi să aleagă şi alte domenii din care să se inspire. În mod asemănător se cere elevilor să schimbe denumirea mărimilor şi să păstreze datele. În clasele mai mari procedeul devine mobilizator, antrenează gândirea elevilor şi dezvoltă capacitatea de creaţie prin muncă independentă. 4. Completarea de către elevi a datelor care lipsesc Aceste probleme nu solicită în mod deosebit creativitatea. Elevii trebuie să înlocuiască spaţiile libere cu numere, având grijă să îndeplinească cerinţele problemei. Astfel, ei sunt puşi în situaţia de a înţelege că au dreptul să intervină în compunerea de probleme, solicitându-li-se iniţiativa. Exemplu: ,,Un elev are de citit 120 de pagini în 3 zile. În prima zi a citit………pagini, în a doua zi………pagini, iar în a treia zi restul. Câte pagini a citit în a treia zi?”
Acestea pot fi abordate începând din clasa a II-a. Li se face cunoscută elevilor întrebarea şi li se cere să potrivească enunţul. Întrebările vor fi clare, cerând în mod precis o anumită operaţie: ,,Cât au împreună?”, ,,Cât a mai rămas?”, ,,Cu cât este mai mare?”, ,,De câte ori este mai mare?”, ,,Câte pagini a citit a doua zi?” etc. Creativitatea va fi stimulată prin necesitatea găsirii unor domenii cât mai variate.
Folosind această formă de activitate în perioada în care elevii învaţă să desprindă din conţinutul problemei enunţul de întrebare, se realizează conştientizarea cunoştinţelor cu privire la elementele componente ale unei probleme, se conving elevii de necesitatea separării întrebării de enunţ în rezolvarea ulterioară a problemelor. Găsirea de întrebări noi contribuie la dezvoltarea imaginaţiei, a gândirii divergente şi flexibile. Exemplu:
,,Într-o cutie sunt 63 de creioane. În altă cutie sunt de 9 ori mai puţine.” Pot fi formulate întrebările: ,,Câte creioane sunt în a doua cutie?! ,,Cu câte creioane sunt mai multe în prima cutie?” ,,Câte creioane sunt în cele două cutii?”
Această activitate va avea succes dacă elevii au fost obişnuiţi să transpună problemele în exerciţii după ce le-au rezolvat (formule numerice sau literale). După ce au fost stabilite datele numerice şi relaţiile dintre ele, efortul gândirii se concentrează la transpunerea formulei numerice sub formă de problemă concretă. Posibilităţile sunt limitate deoarece se pune accent pe rigoarea ştiinţifică a transformării. Exemple:
Se cere compunerea unor probleme după exerciţii date: a) 70 kg + 20 kg = b) 2 x 30 l = c) 40 m : 2 = d) 90 – 30 = e) 338 + ( 338 – 127) = f) 280 – (10 x 2) + 50 = g) Compuneţi o problemă cu numerele 197, 425, 200 astfel încât să aveţi în rezolvare o adunare şi o scădere. La ultimul exemplu fiecare elev îşi poate manifesta independenţa în gândire, spiritul inventiv, ingeniozitatea, spontaneitatea gândirii, originalitatea.
Mecanismul gândirii este acelaşi ca la alcătuirea problemelor după formulă numerică, dar se face un pas către abstractizare şi generalizare, adică spre gândirea specifică următoarei etape de dezvoltare intelectuală. Aici, elevii sunt puşi în situaţia de a înlocui literele cu numere adecvate. Din clasa I se pot alcătui probleme după formule literale simple: a + b = c; a – b = c; a + b + c = d; a + b – c = d; a – b + c = d; a + (b + c) = d; (a + b) + (c + d) = e; a + (a + b) =c. În clasele mai mari formulele literale se vor complica: a = 29
b = a + 14 c = (a + b) + 47 a + b + c = ? sau
a = 3 b = a x 6 c = a x b a + b + c = ? sau a = b x 5 b = 8 c = a – b a + b + c = ?
a) Scheme simple ce pornesc de la relaţiile dintre datele problemei, ajungându-se la întrebarea problemei (metoda sintetică):
b) Scheme alcătuite pe calea metodei analitice (pornind de la întrebarea problemei): 10 + 6 ? 20 – 5 ? c) Scheme fără indicarea operaţiilor:
Variante posibile: a + b = ; a – b = d) Scheme cu indicaţia operaţiilor şi simboluri:
……………… …………………. + -
a + b – c e) Scheme grafice: 19 ____________________ ______________ _____4 10. Complicarea treptată a unei probleme Acest procedeu se poate folosi în perioada în care se trece de la probleme simple la probleme mai complicate, în clasele a III-a şi a IV-a. Se cere elevilor să adauge date şi să completeze enunţul, fiind solicitaţi să creeze relaţii, să-şi pună în valoare cunoştinţele despre realitatea practică.
Acest procedeu se poate folosi când elevii învaţă să rezolve probleme tipice, când ei înţeleg şi ştiu să folosească algoritmul de rezolvare a problemei, care să fixeze în mintea lor regula sau procedeul de calcul. De exemplu: ,,Compuneţi o problemă care să se rezolve prin metoda figurativă.
Acesta este un mijloc eficient de antrenare a gândirii creatoare, care necesită o gândire logică bine dezvoltată, pentru a putea vedea raţionamentul în întregime, pentru a putea găsi noi relaţii între aceleaşi cantităţi, mărimi, valori. Fiecare variantă de rezolvare poate fi transformată în formulă numerică sau literală după care să se compună alte probleme.
Acestea se întâlnesc în viaţa practică, în producţie, unde se cere găsirea tuturor posibilităţilor, compararea lor şi luarea unor decizii. Copiii trebuie obişnuiţi să caute mai multe variante de rezolvare, respectând condiţiile impuse. Acest tip de probleme duce la dezvoltarea gândirii probabilistice. De exemplu: a) Scrieţi toate numerele posibile a căror sumă să fie 9. b) Găsiţi cât mai multe soluţii pentru exerciţiile: a + b = 6, a – b = 4, unde a<10. Alegerea valorilor unei necunoscute nu se face la întâmplare, ci trebuie să se încadreze în cerinţele impuse de condiţiile date. Lucrurile se pot complica introducându-se condiţii suplimentare. c) Introducerea variabilelor în operaţii cu numere Se urmăreşte dezvoltarea spiritului de independenţă, consolidarea cunoştinţelor referitoare la numere, operaţii cu numere, relaţii dintre numere. Varietatea exerciţiilor de acest fel contribuie la formarea deprinderilor de alcătuire a problemelor creative în care să se utilizeze proprietăţile operaţiilor (comutativitatea), scrierea numerelor ca o sumă sau diferenţă (simetria egalităţii), utilizarea parantezei în cazul adunării unui număr cu o sumă sau o diferenţă (asociativitatea). De exemplu exerciţiul de forma 5 + a = se poate rezolva dacă lui ,,a” i se dau anumite valori. d) Exerciţii de aflare a numărului necunoscut dintr-o relaţie de egalitate sau inegalitate Exemple:
Găsiţi numărul ce trebuie scris, astfel încât egalitatea să fie adevărată: …. + 2 = 8 40 + …. = 90 …. – 50 = 20 e) Exerciţii de sinteză cu mai multe operaţii: ● Găsiţi numerele potrivite astfel încât propoziţiile să fie adevărate: 5 + …. + 1 = 9 8 = 4 + 1 + …. 90 + 10 – …. = 3 ● Rezolvaţi exerciţiile aflând valoarea lui a: 1 + 2 + a < 7
● Ce numere putem scrie în locul lui n astfel încât să fie adevărată inegalitatea? n + 14 < 19 f) Exerciţii pentru aflarea semnului operaţiei: Completaţi spaţiile punctate cu unul dintre semnele învăţate, pentru ca relaţiile să fie adevărate: 2 x (3 + 6) …. 2 x 3 + 2 x 6; 17 – (2 + 9)…. 17 – 2 + 9.
Pentru rezolvarea unei astfel de probleme, elevul trebuie să aleagă dintre mai multe variante pe cele mai potrivite. Pentru aceasta trebuie să formuleze ipoteze, să analizeze, să tragă concluzii, să descopere calea ce duce la rezultatul căutat. În această activitate se manifestă gândirea probabilistică şi cea deductivă. Exemplu: Se dă exerciţiul: 5 x 4 : 2 + 8 – 2 Aşezaţi corespunzător paranteze pentru a obţine pe rând, rezultatele: 40; 16; 48.
Pentru rezolvarea acestor probleme elevii trebuie să se îndepărteze de tentaţia de a aplica modele cunoscute. Ei trebuie să găsească strategia de rezolvare adecată specificului problemei. În această categorie se vor întâlni mai multe probleme de genul celor prezentate la punctele anterioare. Rezolvarea lor solicită flexibilitatea gândirii şi capacitatea de adaptare mentală la noua situaţie descoperită. Exemple: a) Scrieţi cel mai mic număr natural de 3 cifre diferite. b) Care este cel mai mare număr natural de 3 cifre egale? c) Efectuaţi înmulţirile într-o ordine care să uşureze calculele: 5 x 21 x 26 = ; 25 x 5 x 6 x 12 =
Acest tip de probleme este mai dificil. Este necesară o reflectare mai atentă asupra conţinutului, selectarea cu precizie a întrebării, reţinerea informaţiilor care ajută la rezolvarea problemei. Se dezvoltă gândirea logică, atenţia, capacitatea de a descoperi pistele false, spiritul de iniţiativă şi observaţia, deprinderea de a lucra corect şi rapid. Exemple:
a) Câte degete sunt la o mână? Dar la două mâini? Dar la 10 mâini? b) O punte rezistă la cel mult 70 kg. Un om care avea 69 kg şi 800 g şi ducea în mână două mere de 200 g fiecare, a traversat puntea dintr-o dată , fără să se rupă. Cum a procedat? Răspuns: Din momentul în care a păşit pe punte şi până a părăsit-o, a jucat merele aruncându-le în aer, în aşa fel încât avea în mână doar un măr, celălalt fiind în aer. Astfel nu a depăşit greutatea admisă. c) Cum am putea scădea pe 22 din 20, ca să obţinem 88? Răspuns:
XX - (cifre romane) 2 2 8 8
d) Zboară un cârd de gâşte: o gâscă în faţă, două în spate, două în faţă, una între două şi trei în şir. Câte zboară în total? Sfera procedeelor pentru compunerile de probleme şi rezolvarea lor prin muncă independentă, nu este limitată. Scopul rămâne acelaşi: dezvoltarea creativităţii gândirii elevilor, asigurarea succesului spre domeniul cercetării ştiinţifice care se bazează, în primul rând, pe matematică.
Def. Fractia are forma generala Clasificarea fractiilor 1.Fractia 2. Fractia 3. Fractia 4. Fractia este reductibila deoarece se poate simplifica prin 5) 
JOC MATEMATIC REGULAMENT: Se împarte clasa în 4 echipe (de exemplu: galbenă, roşie, albastră şi verde). Fiecare echipă primeşte o foaie de parcurs şi un set de exerciţii; fiecare echipă trebuie să treacă prin locaţiile:
La 4) fiecare echipă primeşte un plic cu litere, fiecărei litere corespunzându-i un număr. Dacă la locaţiile 1) şi 4) exerciţiile sunt rezolvate corect, atunci copiii formează din litere cuvântul „FELICITĂRI”. La 1) se vor număra triunghiurile ce apar în desen. La 2) elevii rezolvă exerciţiile cu ajutorul alfabetului şi descifrează propoziţia „Prietenia este ca o floare”. La 3) se va completa cu semnele +, –, La 4) se vor rezolva 10 probleme de logică.
2) CE ESTE CODIFICAT?  a
Fiecărui răspuns corect îi corespunde o literă. Dacă toate cele 22 de exerciţii sunt rezolvate corect, veţi putea forma cu ajutorul literelor o propoziţie. Care este aceasta?
3) CARE ESTE SEMNUL POTRIVIT? 
4) GÂNDEŞTE! 1. Preţul unei cărămizi. O cărămidă costă 1 leu şi o jumă tate de cărămidă. Cât costă o cărămidă? 2. O problemă cu ouă de găină. O găină şi jumătate fac un ou şi jumătate într-o zi. Câte găini vor oua 16 ouă în 8 zile? 3. Bătăile orologiului . Ca să bată ora 5 un orologiu are nevoie de 5 secunde. De câte secunde va avea nevoie pentru a bate ora 9? 4. Numărătoarea oilor. Un cioban fiind întrebat câte oi are în turma sa răspunde că nu cunoaşte numărul lor exact, dar dacă le numără câte 2, câte 3, câte 4, câte 5 sau câte 6 îi rămâne întotdeauna o oaie de prisos. Însă dacă numără câte 7, nu-i rămâne nici una. Câte oi are ciobanul în turma sa? 5. O problemă cu 3 mere. Andrei, Barbu şi Costică primesc trei mere de mărimi dife rite. Mărul lui Andrei este pe jumătate faţă de mărul lui Costică, iar mărul lui Barbu pe trei sferturi faţă de mărul lui Costică. Cum poate obţine fiecare copil o parte egală, tăind numai unul din mere? 6. Cinci pâini. Doi oameni care au călătorit împreună şi din care unul avea două pâini asupra sa, iar altul 3 pâini, au întâlnit pe un al treilea călător flămând. După ce toţi trei s-au ospătat împreună în mod egal, al treilea călător, odată cu mulţumirile sale, dădu primilor doi cinci lei şi şi-a văzut apoi de drum. Cum au trebuit să-şi împartă primii doi călători această sumă? 7. O socoteală cu nişte mingi. În 6 mingi albe se află 6 mingi albastre. Fiecare minge al bastră conţine câte 6 mingi roşii, iar în fiecare minge roşie se află câte 6 mingi verzi. Câte mingi sunt în total? 8. Drumul melcului. Un melc vrând să iasă din fundul unui puţ adânc de 10 metri, urcă în fie care zi câte 2 metri, iar în fiecare noapte coboară câte 1 metru. Cât timp îi va trebui melcului pentru a-şi atinge scopul? 9. Cu gâştele la păscut. - „Cu câte gâşte ai fost la păscut?” - „Dacă una mergea înaintea altor două, alta între două şi una după alte două gâşte, atunci cu câte gâşte am fost la păscut?”
- „În ce clasă sunteţi voi, măi băieţi?” - „Toţi suntem într-a şasea afară de 12; toţi suntem într-a şaptea afară de 12; toţi suntem într-a opta, afară de 12 şi toţi suntem într-a noua afară de 12.” Câţi elevi sînt în total? 2. Preţul unei cărămizi O cărămidă costă 1 leu şi o jumă tate de cărămidă. Cât costă o cărămidă? 3. Găinile şi iepurii de casă Într-o curte se plimbă laolaltă găini şi iepuri de casă, în total 100 de capete şi 120 de perechi de picioruşe. Ştiţi câte găini şi câţi iepuri sunt acolo? 4. Cât costă un metru de stofă - „Cât costă metrul de stofă?” - „O treime şi jumătate din 100 de lei!” - „Dar cum să împart o sută exact prin trei?” - „Nici nu ţi-am cerut aşa ceva!” - „Atunci, cît costă metrul de stofă?” - „Ghici!”
Două echipe au de tăiat nişte buşteni de aceeaşi mărime, cu ajutorul unor ferăstraie mecanice, în câte 20 de bucăţi egale. O echipă taie un buştean în 100 secunde. A doua are nevoie de 5 secunde pentru fiecare tăietură. Care din cele două echipe câştigă întrecerea? 6. O problemă cu ouă de găină O găină şi jumătate fac un ou şi jumătate într-o zi. Câte găini vor oua 16 ouă în 8 zile? 7. Bătăile orologiului Ca să bată ora 5 un orologiu are nevoie de 5 secunde. De câte secunde va avea nevoie pentru a bate ora 9? 8. O socoteală greşită cu mere O ţărancă vine la târg cu 60 de mere. Ea vinde, 30 de mere pentru care încasează 10 lei. Văzând că merele au căutare, ţăranca vinde restul cu preţul de 0,50 lei mărul şi încasează deci, pentru ultimele 30 de mere, 15 lei. Venind a doua zi la târg tot cu 60 de mere, femeia îşi face socoteala că va ajunge la acelaşi rezultat ca în ajun, dacă va vinde de la început merele dând 5 bucăţi la 2 lei. La sfârşitul vânzării se tre zeşte că a încasat numai 24 lei în loc de 25 lei, cât încasase cu o zi înainte şi cum s-ar fi aşteptat să primească. Cum de a încasat a doua zi mai puţin cu 1 leu ? 9. Numărătoarea oilor Un cioban fiind întrebat câte oi are în turma sa răspunde că nu cunoaşte numărul lor exact, dar dacă le numără câte 2, câte 3, câte 4, câte 5 sau câte 6 îi rămâne întotdeauna o oaie de prisos. Însă dacă numără câte 7, nu-i rămâne nici una. Câte oi are ciobanul în turma sa? 10. Câţi nepoţi are bunicul De ziua bunicului au venit toţi nepoţii să-l felicite. Pentru a-şi trata musafirii, bunicul a cules din grădina lui un număr de mere şi de trei ori mai multe nuci. După ce fiecare nepot a fost servit cu câte 3 mere şi câte 8 nuci, bunicului i-au mai rămas 20 de mere şi 75 de nuci. Câţi nepoţi are bunicul? 11. O problemă cu 3 mere Andrei, Barbu şi Costică primesc trei mere de mărimi dife rite. Mărul lui Andrei este pe jumătate faţă de mărul lui Costică, iar mărul lui Barbu pe trei sferturi faţă de mărul lui Costică. Cum poate obţine fiecare copil o parte egală, tăind numai unul din mere? 12. Cinci pâini Doi oameni care au călătorit împreună şi din care unul avea două pâini asupra sa, iar altul 3 pâini, au întâlnit pe un al treilea călător flămând. După ce toţi trei s-au ospătat împreună în mod egal, al treilea călător, odată cu mulţumirile sale, dădu primilor doi cinci lei şi şi-a văzut apoi de drum. Cum au trebuit să-şi împartă primii doi călători această sumă? 13. Iepurele şi câinele de vânătoare Un iepure aleargă urmărit de un câine de vânătoare. În timp ce iepurele, mai iute de picior, face 8 salturi, câinele execută numai 5. În schimb câinele, mai lung de picidare, face 3 sărituri cât 7 ale iepurelui. Dacă iepurele este cu 88 de salturi mai înaintat decât câinele, câte sărituri mai are el de făcut până să fie ajuns de câine? 14. O socoteală cu nişte mingi În 6 mingi albe se află 6 mingi albastre. Fiecare minge al bastră conţine câte 6 mingi roşii, iar în fiecare minge roşie se află câte 6 mingi verzi. Câte mingi sunt în total? 15. Drumul melcului Un melc vrând să iasă din fundul unui puţ adânc de 10 metri, urcă în fie care zi câte 2 metri, iar în fiecare noapte coboară câte 1 metru. Cât timp îi va trebui melcului pentru a-şi atinge scopul? 16. Cu gâştele la păscut - „Cu câte gâşte ai fost la păscut?” - „Dacă una mergea înaintea altor două, alta între două şi una după alte două gâşte, atunci cu câte gâşte am fost la păscut?”
Pe luciul apei unui lac a apărut o frunzuliţă de nufăr abia vizibilă cu ochiul liber. Hrăni tă abundent de tulpina care o poartă, ea se dezvoltă dublându-şi zilnic suprafaţa, astfel că după 30 de zile acoperă lacul pe toată întinderea lui. După câte zile frunza de nufăr a acoperit numai jumătate din suprafaţa lacului? 18. Cei 20 de dansatori La o serbare vin 20 de tineri, băieţi şi fete. Unul din băieţi a dansat cu 5 fete. Un al doilea a dansat cu 6 fete, un al treilea cu 7 şi aşa mai departe. Ultimul din ei a dansat cu toate fetele. Ştiţi câţi băieţi şi câte fete au luat parte la această serbare? 19. Preţul peştelui - „Cu ce preţ vinzi peştele, pescarule?” - „Cu cât vând corpul, cu atât vând şi capul cu coada la un loc.” - „Dar cât costă capul şi coada?” - „Capul costă 2 lei, iar coada, cât capul şi încă o jumătate de corp. Ei, acum ştii cu cât vând un peşte?”
- „Câţi bani ai în buzunar?” - „Dacă-i împart la 10 îmi rămân 9 bani. Dacă-i împart la 9 îmi rămân 8 bani, dacă-i împart la 8 îmi rămân 7 bani şi aşa mai departe. La urmă dacă-i împart la 2 îmi rămâne 1 ban. Acum ştii câţi bani am în buzunar?”
Un podgorean dăruieşte celor trei fii ai săi un vas cu 240 litri de vin, cu condiţia ca să-şi împartă toată cantitatea de vin în părţi egale. Ei nu au la dispoziţie altă măsură de capa citate decât 3 vase goale de 130, 110 şi 50 litri. Cum au reuşit să facă împărţirea în părţi egale? 22. Suta de gâşte O gâscă, întâlnind un cârd de gâşte la păscut, spuse primei gâşte din cârd: - „Bună dimineaţa, sută de gîşte!” - „Greşeşti, soro, îi răspunse cealaltă. Nu suntem o sută! Dacă am fi de doua ori câte suntem, cu o jumătate din câte sun tem, cu un sfert din câte suntem şi cu tine împreună am fi de abia o sută.” Câte gâşte au fost în cârd?
O ţărancă şi-a trimis cele două fiice ale ei cu două coşuri de păsări la oraş. Păsările erau toate de greutate egală. Cum una din fete se văita din cauza greutăţii prea mari a coşului ei, cealaltă a calmat-o zicându-i: „De ce te plângi? Dacă eu aş lua una din păsările tale, aş avea dublul greutăţii pe care o porţi tu, pe când dacă eu ţi-aş da o pasăre dintr-ale mele, am avea de purtat greutăţi egale.” Câte păsări ducea fiecare din fete? 24. Vârsta mea şi vârsta ta - „Ce vârstă ai tu, frate?” - „Când tu vei avea vârsta mea vom avea împreună 54 de ani.” - „Dar tocmai asta vreau să ştiu, care este vârsta ta actuală?” - „Eu am de două ori vârsta pe care o aveai tu când eu aveam vârsta ta actuală. Ei, acum ştii câţi ani am?”
Iată trei vase având fiecare câte o altă cantitate de vin. Dacă din vasul care are cantitatea cea mai mare turnăm în cele lalte două atâta vin încât să se dubleze conţinutul lor, obţi nem din nou trei can tităţi diferite, dar un alt vas va avea acum mai mult vin. Dacă dublăm iar conţinu tul vaselor care au mai puţin vin, luând din cel cu vin mai mult, al treilea vas le va întrece de data aceasta pe toate. Dacă mai dublăm conţinu tul celor două vase care au rămas cu mai puţin vin, luând din al treilea vas, obţinem câte 72 de litri în fiecare din ele. Puteţi să spuneţi cât vin a fost în fiecare vas? 26. Greutăţile de la 1 la 40 kg Un comerciant are o bară de oţel perfect omogen, de formă prismatică şi grea de 40 kg. El vrea să taie această bară într-un număr minim de bucăţi, de greutăţi diferite, astfel ca să poată cântări cu ele orice greutate reprezentată de un număr întreg de la 1 până la 40 kg. Ştiţi cum va proceda? 27. Mucurile de ţigară Din cauza unui viscol, doi alpinişti se văd siliţi să rămână într-o cabană câteva zile. Unul din ei avea cu el 8 ţigări, iar celălalt 9. - „Ei acum ce facem aici în timpul acesta ca să nu ne plic tisim? întrebă cel cu 9 ţigări.” - „Vom fuma şi vom rezolva probleme de aritmetică recreativă”, răspunse celălalt scoţând din rucsacul lui o carte, hârtie şi creion. - „Cât vei putea fuma, dacă nu ai decât 8 ţigări?” - „Ai uitat că îmi rămân şi mucuri. La nevoie le voi folosi şi voi, face câte o ţigară din 3 mucuri.” - „Şi câte ţigări vei mai putea fuma din cele 8 mucuri care îţi vor rămâne.” - „Exact atâtea câte vei putea fuma tu din cele 9 mucuri ale tale şi nu-mi va mai rămâne nici un muc după ce voi termina.” - „Nu văd cum ai să faci tu din 8 mucuri, tot atâtea ţigări câte voi face eu din 9.” - „Ai să vezi! Răbdare şi... tutun!” 28. Cu patru linii drepte Desenaţi pe o foaie de hârtie nouă puncte, aşezate la distanţe egale, ca să formeze un pătrat. Fără să ridicaţi creionul de pe hârtie, trageţi 4 linii drepte în aşa fel încât să treceţi prin toate punctele. 29. Zece rânduri Nu e greu de aflat cum trebuie aşezate 16 piese de table în 10 rânduri care să cuprindă fiecare câte 4 piese. Mult mai greu este să aşezaţi 9 piese în 10 rânduri şi fiecare rând să aibă câte 3 piese. Rezolvaţi amândouă problemele. 30. De la 1 la 19 Se cere să aşezaţi în cele 19 cerculeţe toate numerele întregi de la 1 la 19, astfel ca suma cifrelor din oricare 3 cerculeţe aflate pe aceeaşi dreaptă să fie egală cu 30. 31. Câţi ani am? Când tatăl meu avea 31 de ani, eu aveam 8 ani. Astăzi tatăl meu este de 2 ori mai în vârstă ca mine. Câţi ani am acum? 32. Câţi sunt? Un băiat are tot atâtea surori, câţi fraţi, dar sora lui are de două ori mai puţine surori decât fraţi. Câţi fraţi şi câte surori sunt? 33. Cu aceleaşi cifre Folosind numai semnul adunării, scrieţi numărul 28 cu ajutorul a cinci de doi, iar numărul 1.000 cu ajutorul a opt de opt. 34. Îndreptaţi greşeala Luaţi 12 chibrituri şi aşezaţi-le ca în figura de mai jos. După cum vedeţi, egalitatea este greşită, deoarece rezultăa că 6 – 4 = 9. Mutaţi un singur chibrit în aşa fel, încât egalitatea să fie corectă. 35. Din trei faceţi patru (farsă) Pe masă se găsesc 3 chibrituri. Fără să adaugaţi nici un chibrit, faceţi din trei – patru. Nu aveţi voie să rupeţi chibriturile. 36. Încă opt şarade Din 24 de chibrituri a fost construit un pătrat mare, cu 9 pătrate interioare. 
Se cere:
a) să se mute 12 chibrituri, ca să se obţină 2 pătrate egale; b) să se scoată 4 chibrituri, astfel încât cele rămase să formeze un pătrat mare şi alte patru mici; c) să formeze 5 pătrate egale, scoţând fie 4, fie 6 din 8 chibrituri; d) să se scoată 8 chibriturituri, în aşa fel ca cele rămase să formeze patru pătrate egale (2 soluţii); e) să se scoată 6 chibrituri, formând 3 pătrate; f) să se scoată 8 chibrituri, astfel încât să rămână 2 pătrate (2 soluţii); g) să se scoată tot 8 chibrituri, în aşa fel încât să rămână 3 pătrate; h) să se scoată 6 chibrituri, spre a obţine 2 pătrate şi 2 hexagoane neregulate egale.
METODA MERSULUI INVERS I. Rezolvă problema şi încercuieşte varianta corectă: 1. Andra primeşte cadou o cutie de bomboane. Ea mănâncă în prima zi jumătate din numărul bomboanelor, a doua zi o treime din ce a mai rămas, iar a treia zi jumătate din noul rest. Dacă acum se găsesc în cutie 5 bomboane, la început au fost: a) 15 bomboane; b) 30 bomboane; c) 16 bomboane. 2. Doi turişti au vizitat împrejurimile oraşului nostru, astfel: jumătate din drum cu autobuzul, două treimi din restul distanţei cu trenul şi noul rest, adică 12 km, pe jos. Lungimea itinerariului a fost de: a) 36 km; b) 72 km; c) 60 km. 3. Irina are la C.E.C o anumită sumă de bani. În prima lună a scos jumătate din ea, în a doua lună o treime din rest, a treia lună jumătate din noul rest, iar în a patra lună o treime din suma rămasă. Dacă acum se găsesc 240 de Euro în contul Irinei, la început erau: a) 1080 Euro; b) 2160 Euro; c) 2080 Euro. 4. O maşină a parcurs un drum în mai multe etape, astfel: în prima etapă străbate  din drum, a doua oară  din restul drumului, iar a treia etapă  din ceea ce a mai rămas după a doua etapă. El constată că au mai rămas de parcurs 60 km. Câţi km a avut întregul drum:
a) 480 km; b) 240 km; c) 360 km? II. Rezolvă problemele şi apoi pune în ordine crescătoare rezultatele obţinute: 1. Produsul numerelor 300 şi 2 micşorează-l de x ori, iar rezultatul măreşte-l cu triplul lui 100. Dacă şesimea noului rezultat este 100, cât este x? 2. Optimea unui număr x se adună cu şeptimea numărului 490. Suma obţinută se micşorează de 10 ori şi se obţine 11. Află numărul necunoscut x. 3. Zecimea unui număr măreşte-o de 5 ori; jumătatea rezultatului micşoreaz-o cu câtul numerelor 100 şi 5 şi vei obţine 480. Care este numărul necunoscut? 4. Mă gândesc la un număr. Împart sfertul lui la sfertul lui 40, apoi măresc câtul obţinut de 25 de ori şi ajung la 100. La ce număr m-am gândit? 5. Mă gândesc la un număr. Îl măresc de 10 ori, apoi adaug 90. Cincimea noului rezultat o micşorez de 4 ori şi obţin 10. La ce număr m-am gândit? 6. Norocul şi Mintea se prind tovarăşi de drum. Mintea îi spune Norocului: „Dacă la cincimea drumului de parcurs adăugăm treimea lui 9, atunci parcurgem 7 km. Câţi kilometri are drumul?” Norocul zice că vreo 20 km. A avut dreptate? 7. La o expoziţie a păsărilor neîmpăiate s-au prezentat de 3 ori mai multe păsări decât sfertul păsărilor participante în anul anterior, adică 750 de exemplare. Câte păsări s-au prezentat în anul anterior? III. Diverse: 8. Dublul unui număr mărit cu 3 a fost înmulţit cu 4. Produsul obţinut, micşorat cu 5, a fost împărţit cu 9 şi s-a obţinut 15. Care a fost numărul iniţial? 9. Avem două grămezi de nuci. Punem din prima grămadă într-a doua atât cât conţinea. Apoi punem din a doua în prima atât cât conţine prima. În sfârşit, punem din nou din prima grămadă în a doua atât cât conţine a doua. La sfârşit se găsesc în fiecare grămadă câte 24 de nuci. Câte nuci au fost la început în fiecare grămadă? 10. Avem două vase de apă A şi B. Turnăm din A în B atât cât conţine B; apoi turnăm din B în A atât cât a rămas în A ş.a.m.d. După 4 operaţii, în cele două vase rămân câte 16 l de apă. Cât era la început în fiecare vas? 11. O femeie vinde nişte ouă la 3 cumpărători. Primul ia jumătate din numărul ouălor care se găsesc în coş şi încă jumătate de ou. Al doilea ia jumătate din numărul ouălor care se găsesc în coş şi încă o jumătate de ou. Al treilea ia de asemenea jumătate din numărul ouălor care se găsesc în coş şi încă o jumătate de ou şi astfel coşul rămâne gol. Câte ouă a avut femeia la început? Variante: 4 cumpărători; 5 cumpărători 12. Cineva pleacă de acasă cu o sumă de bani şi face cumpărături în 3 magazine. În primul magazin cheltuieşte  din bani şi încă 10 lei; în al doilea magazin cheltuieşte cu 30 de lei mai puţin decât  din banii care i-au rămas după prima cumpărătură; în magazinul al treilea cheltuieşte  din banii care i-au rămas după a doua cumpărătură şi încă 30 de lei. La sfârşit îi rămân 10 lei. Câţi lei a avut la început?
13. Un biciclist trebuie să parcurgă un anumit traseu. El parcurge în prima oră mai puţin cu 1 km din jumătatea drumului. În a doua oră, el parcurge  din drumul rămas şi încă 1 km şi mai rămân de făcut 3 km. Câţi kilometri a avut traseul?
14. Dintr-un vas cu vin se scoate pe rând:  din conţinut şi încă 1 l,  din rest şi încă 1 l,  din noul rest şi încă 1 l,  din acest rest şi încă 1 l,  din acest rest şi încă 1 l. La sfârşitul operaţiilor rămân în vas 3 l de vin. Cât vin a fost la început?
15. Avem 3 vase A, B şi C. Turnăm din A în B atât cât conţine B şi din A în C cât conţine C; apoi din B în A şi C atât cât conţine A, respectiv C; iar la sfârşit turnăm din C în A şi B atât cât conţine A, respectiv B. După a treia operaţie, fiecare vas conţine 8 l. Cât conţinea fiecare vas la început? Probleme care se rezolvă prin metoda falsei ipoteze Metoda falsei ipoteze constă în formularea de către rezolvitor a unei noi ipoteze (sau mai multe), ajungându-se la o nepotrivire cu enunţul, nepotrivire ce ne duce la determinarea necunoscutelor. Problemă: Într-o ogradă sunt fazani şi iepuri, în total fiind 100 picioare şi 36 capete.Câţi fazani şi câţi iepuri sunt ? Rezolvare: Dacă în ogradă ar fi doar fazani am avea 36 de capete şi 72 de picioare de fazan. Cum problema spune că avem 100 de picioare, obţinem că 28 de picioare sunt ale iepurilor care au patru picioare. Deci 28:2=14, adică avem 14 iepuri. Din 36-14=22 obţinem că în ogradă sunt 22 fazani. Răspuns: 14 iepuri şi 22 fazani 
Problemă: Un biciclist urcă cu 6 km/h şi coboară aceeaşi pantă cu 20 km/h. Ştiind că drumul urcat şi coborât a durat 3h şi 15 minute, să se afle lungimea drumului. Rezolvare: Presupunem că lungimea pantei este de 60km. În baza ipotezei făcute timpul de urcare va fi t timpul de coborâre va fi t timpul total în acest caz fiind t = 13 h. Comparăm timpul total ipotetic cu cel real din problemă şi avem Dacă Dacă s-ar mai adăuga 8 saci de 50 kg (adică 400kg) atunci datele noii probleme ar fi: S-au adus 56 saci de câte 50kg, 54kg, 63kg, în total 2952 kg orez. Numărul celor de 50kg este triplul celor de 54 kg.
Avem 1500 kg în cei 30 saci de câte 50kg fiecare, 540 kg în 10 saci de 54kg fiecare şi 1008 kg în cei 16 saci de 63kg, deci în total 3048 kg. Observăm că a crescut cantitatea de orez cu 3048-2952=96kg. Emitem o nouă ipoteză asupra numărului de saci de 50kg: în loc de 30 saci luăm 27saci sau 33 saci(multiplu de 3). Fie 33 saci de 50kg. În acest caz am avea 1650kg în cei 33 saci de 50kg, 594kg în cei 11 saci de 54kg, 756kg în cei 12 saci de 63 kg fiecare, deci în total 3000 kg. Observăm că dacă s-a mărit cu 3 numărul sacilor de 50kg (de la 30 la 33) atunci cantitatea totală a scăzut cu 3048 – 3000 =48kg. Noi avem 2952 kg, deci mai trebuie micşorată cantitatea cu 48kg. Atunci, dacă, mărind cu 3 numărul sacilor de 50 cantitatea a scăzut la 48, pentru a avea 2952 kg mai mărim cu încă 3 numărul sacilor de 50kg. Aşadar avem 36 saci de 50kg, 12 saci de 54kg şi 8 saci de 63kg.Având în vedere că am mai adăugat la început 8 saci de 50kg avem : 28 saci de 50kg,12 saci de 54 kg şi 8 saci 63 kg. Probleme care se rezolvă prin metoda reducerii la unitate Această metodă prezintă avantajul că este foarte accesibilă putând fi folosită de orice elev într-o gamă variată de probleme. Singura dificultate este de a reuşi să se stabilească felul dependenţei între mărimi(direct sau invers proporţionale). Problemă: Zece muncitori termină o lucrare în 6 zile.
Rezolvare: a) 10 muncitori termină lucrarea în 6 zile, atunci 1 muncitor va termina lucrarea într-un timp de 10 ori mai mare, adică în 60 zile, iar 12 muncitori vor termina lucrarea într-un timp de 12 ori mai mic decât 60, adică în 5 zile. b) 10 muncitori.....................................................6 zile 10 muncitori.....................................................6-2 = 4 zile 1 muncitor......................................................40 zile 10-2 =8 muncitori............................................40: 8 = 5 zile. c) 10 muncitori.....................................................6 zile 10 muncitori.....................................................6+3= 9 zile 1 muncitor......................................................90 zile 10+8 = 18 muncitori.........................................90: 18 = 5 zile. Răspuns: 5 zile Problemă: O lucrare poate fi executată în 20 zile de către15 muncitori. Deoarece după 8 zile de lucru unii dintr muncitori pleacă pe alt şantier lucrarea se termină după alte 30 zile. Câţi muncitori au plecat pe alt şantier? Rezolvare: Dacă 15 muncitori în 20 zile termină o lucrare, notată 1L, atunci 15 muncitori într-o zi termină 1/20 din L, deci 15 muncitori în 8 zile termină 8/20 din L. Ce parte din lucrare mai rămâne pentru următoerele 30 zile? 1L – 8/20L=12/20 L Câţi muncitori execută 12/20L? Pentru 8/20 L este nevoie de 8 zile în condiţiile în care lucrează 15 muncitori. Pentru 1/20L.........................1 zi................................................. 15 muncitori Pentru 12/20L......................30 zile............................................. Câţi muncitori au plecat pe alt şantier? 15 – 6 = 9 muncitori. Răspuns: 9 muncitori Problemă: Prin trei robinete, fiind deschise timp de 4 zile câte 7 ore pe zi, curg 30240 litri apă. În câte zile, prin 4 robinete cu acelaşi debit, fiind deschise câte 3 ore pe zi, curg 21600 litri apă? Rezolvare: 3 robinete……………………..28 ore(4 zile cu 7ore pe zi)…………………30240 litri 3 robinete……………………..1 oră………………………………30240:28=1080 litri 1 robinet…………………….1 oră……………………………….....1080: 3=360 litri 4 robinete...............................1 oră..................................................... 4 robinete...............................3 ore.................................................... Dacă prin acelaşi număr de robinete în 3 ore curg 4320 litri, în câte zile zile vor curge 21600 litri? 21600 : 4320 = 5 (zile) Răspuns: 5 zile Probleme care se rezolvă cu metoda figurativă Caracteristica acestei metode constă în reprezentarea necunoscutelor problemei şi a relaţiilor dintre acestea , cu ajutorul unor desene (de regulă segmente de dreaptă). Problemă: Fie trei numere naturale. Dacă se împarte primul număr la al doile, se obţine câtul 3 şi restul 3, iar dacă se împarte al treilea la al doilea se obţine câtul 5 şi restul 2. Ştiind că diferenţa dintre al treilea şi primul număr este 121, aflaţi cele trei numere. Rezolvare: 3 I
2 III
Probleme care se rezolvă cu metoda comparaţiei Metoda comparaţiei se utilizează de regulă în problemele în care mărimile care trebuie comparate sunt caracterizate prin câte două valori fiecare. Se încearcă aducerea unei mărimi la aceeaşi valoare , simplificîndu-se astfel problema iniţială, ajungându-se la final la o singură necunoscută. Problemă: Dacă 20 de cosaşi au cosit în 15 zile 15 hectare, aflaţi câte hectare vor cosi 30 de cosaşi în 30 de zile. Rezolvare: 20 cosaşi ……….15 zile ……….15 hectare 30 cosaşi ……….30 zile ………. ? hectare ___________________________________
20 cosaşi ……….30 zile ……….30 hectare 10 cosaşi ……….30 zile ……….15 hectare 30 cosaşi ……….30 zile ……….45 hectare Răspuns: 45 hectare Probleme care se rezolvă cu metoda mersului invers În unele probleme relaţiile dintre mărimi sunt date într-o ordine succesivă. Dacă s-ar aplica ordinea naturală a calculelor raţionamentele devin greoaie. Metoda mersului invers constă în folosirea datelor problemei în ordine inversă. Problemă: Un elev are o sumă de bani din care cheltuieşte astfel: Pentru a cumpăra o uniformă şcolară cheltuieşte 1/3 din sumă şi încă 18 lei, pentru caiete 1/3 din suma rămasă şi încă 18 lei, pentru rechizite 1/3 din rest şi încă 18 lei; la cofetărie 1/3 din noul rest şi îi mai rămân 28 lei. Câţi lei a cheltuit pentru fiecare cumpărătură şi ce sumă a avut iniţial? Rezolvare: La cofetărie a cheltuit 1/3 din restul rămas după cumpărarea rechizitelor şi i-au rămas 28 lei. Deci, cei 28 lei corespund la 2/3 di banii rămaşi după cumpărarea rechizitelor. Deci banii cheltuiţi la cofetărie sunt 1/3 din rest, ceea ce corespunde la 14 lei. La cofetărie a cheltuit 14 lei şi i-au rămas 28 lei, aşadar restul rămas după cumpărarea rechizitelor a fost de 28lei +14lei = 42lei. –pentru rechizite a cheltuit 1/3 din restul rămas pentru cumpărarea caietelor şi încă 18 lei, adică 2/3 din banii rămaşi corespund la 42+18=60 lei Şi atunci 1/3 corespund la 60 : 2 = 30 lei. Aşadar pentru rechzite a cheltuit 30+18=48 lei. După cumpărarea caietelor i-au rămas deci 90lei. Pe caiete a cheltuit 1/3 din banii rămaşi după cumpărarea uniformei şi încă 18 lei, aşadar 2/3 din banii rămaşi corespund la 90+18=108 lei. 1/3 din banii rămaşi corespund la 108 : 2 = 54 lei şi atunci banii rămaşi după cumpărarea uniformei au fost Pe unformă a plătit 1/3 din sumă şi încă 18 lei, adică 2/3 din banii rămaşi după cumpărarea uniformei corespund la 162 +18 = 180 lei; 1/3 din banii rămaşi corespund la 180 : 2 = 90 lei. Deci suma avută iniţial a fost de 270lei şi pe uniformă a plătit 90 + 18 = 108 lei. Răspuns: 270 lei Probleme de mişcare 1. Din oraşele A şi B aflate la o distanţă de 210 km, pornesc unul spre altul în acelaşi timp, doi motociclişti. Viteza medie a motociclistului care pleacă din A este  din viteza celeuilalt motociclist. După două ore de la pornire, cei doi mai aveau de parcurs, până la întâlnirea lor, 70 km. Aflaţi viteza medie a fiecărui motociclist.
Rezolvare:( metoda aritmetică) Reprezentarea grafică poate fi: A v1  70 km  v2 B
I I I I I I I I I  
Cum se ajunge la această prezentare? Deoarece v1= Reprezentarea grafică a distanţelor parcurse poate fi aşezată astfel: d2 I I I I I
d1 I I I I Din desen rezultă că 7 părţi, fiecare parte fiind egală cu Câţi km a parcurs primul în două ore? 140:7.3=60 (km) Câţi km a parcurs al doilea în două ore? 140:7.4=80 (km) sau Care a fost viteza medie a motociclistului care a plecat din A? 60:2=30 (km/h) Care a fost viteza medie a motociclistului care a plecat din B? 80:2=40 (km/h) sau 2 2. Un motociclist pleacă din oraşul A cu o viteză medie de 30 km/h. După 4 ore pleacă din acelaşi oraş şi în acelaşi sens un autoturism care are o viteză medie de 60 km/h. După cât timp autoturismul va ajunge din urmă motociclistul? Rezolvare:( metoda aritmetică) Reprezentarea grafică poate fi: moto v1=30km/h
A auto v2=60km/h B C I I Câţi km parcurge motociclistul în cele 4 ore? 4.30=120km Când autoturismul s-a pus în mişcare, motociclistul avea un avans de 120 km (se afla în punctul B). Pentru ca autoturismul să ajungă motociclistul, el trebuie să recupereze distanţa de 120 km. Când autoturismul pleacă la drum, motociclistul îşi continuă mişcarea spre punctul C. Este posibil ca autoturismul să ajungă biciclistul? Da, deoarece viteza maşinii era mai mare. Cât recuperează într-o oră? 60-30=30km/h} In cât timp autoturismul recuperează 120 km? 120:30=4 ore
Completaţi următorul rebus: V
Orizontal:
Ce cuvânt apare pe verticala notată cu V ? Yüklə 354,33 Kb. Dostları ilə paylaş:
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, unde a si b sunt numere naturale sau intregi.
)
)
este ireductibila ;
, : şi paranteze astfel încât să se obţină propoziţii (enunţuri) matematice adevărate.
= 60 km : 6 km/h = 10 ore iar
= 60 km : 20 km/h = 3 ore,
= 
=
.
este de patru ori mai mic decât timpul ipotetic rezultă că drumul real este mai mic de patru ori decât drumul ipotetic (60 km) adică d = 15 km.
: 30 =6muncitori.
litri
litri
lei. Deci pentru caiete a cheltuit 54+18 =72lei.
d1= 
din d2 reprezintă 210km–70km=140km.